Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

60 Capítulo 2: Probabilidad
R esulta que
P {A C B ') = P{A) - P{A) •P(B)
= P(A)-[ 1 - P(B)}
= P(A)-P(B■)
y de ahí que A y B' sean independientes.
T
E n los ejercicios 2.66 y 2.67 se le pedirá al lector que dem uestre que si A y B son
independientes, en to n ces A' y B son in d ependientes y así lo son A' y B\ y si A y B
son dep en d ien tes, entonces A y B' son dependientes.
Para ex ten d er el concepto de independencia a m ás de dos eventos, definam os lo
siguiente
d e fin ic ió n 23 Los eventos A t, A2 y Ak son in d e p en d ie n te s si y sólo si la
probabilidad de la intersección de cualesquiera 2, 3 o A: de estos eventos es
igual al producto de sus probabilidades respectivas.
Para tres eventos A, B y C. p o r ejem plo, la independencia requiere que
P (A H B ) = P(A)" P(B)
P (A n C ) = P(A)-P(C)
P(BDC) = P(B)-P(C)
y
P ( A D B r C ) = P(A) • P(B) • P(C)
Es de interés señalar que tres o m ás eventos pueden ser in d e p e n d ie n te s p o r p a ­
rejas sin ser independientes.
EJEM PLO 2.23
La figura 2.11 m uestra un diagram a de Venn con probabilidades asignadas a sus diversas
regiones. V erifique que A y B son independientes, que A y C son independientes y
que B y C son independientes pero que A, B y C no son independientes.
Solución
C om o se p u ed e ver en el diagram a, P(A) = P(B) = P(C) = P(A f l B) =
P{A r\C) = P{BC\C) = ¿ y P(A D B H C ) = Así,