Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 10: Estimación: teoría
refiriéndonos en vez a la población uniform e
/( * ) =
- i :
p a ra 0 < x < 1
en cu a lq u ier o tra parte
(a)
(b)
(c)
M uestre que E(X) = \, E(X2) = $ y var(A ') = ^ para esta población de
m anera que para una m uestra aleatoria de tam año n = 3, v ar( X ) = ¿ .
U se los resultados de los ejercicios 8.72 y 8.78 (o derive las densidades y
densidad conjunta necesarias) p ara dem ostrar que para una m uestra aleato
ria de tam año n = 3 de esta población, las estadísticas de orden y, y y 3
tienen £(y,) E(V\) =■&, £(y3) = 1 £ (y |) =$y E(y, y3) = ^ d e m a­
n era que v a r (y,) = v a r (y3) = ¿ y c o v (y,, y3) _ = i 80'
U se los resultados del inciso (b) y el teo rem a 4.14 p ara m o strar q ue
y . + y 3 \ 1 ... ( Y x + y
2 y = — y v a r^ — - U } = - — L y p o r ta n to que p a ra m ues­
/ 40
tras aleatorias de tam año n = 3 de la población uniform e dada, la m itad
de la am plitud es insesgado y m ás eficiente que la m edia.
a
1031 D em uestre que si 0 es un estim ador sesgado de 6, entonces
£ [ ( é - 0 )2] = v a r ( é ) + [b (0 )]2
~ X y^+1 ~ 1
1032 Si 0, = —, 0 2 = — —— y 0 3 = - son estim adores del p arám etro 0 de una po-
'* /» + 2 3
blación binom ial y 0 = j , ¿para qué valores de n
A
(a) cl e rro r m edio cuadrático de 0 2 es m enor que la varianza de 0 ,;
A
(b) el e rro r m edio cuadrático de 0 3 es m enor que la varianza de 0 ,?
A
A
APLICACIONES
1033 Se tom an m uestras aleatorias de tam año n de poblaciones norm ales con la m e­
dia /x y las varianzas a] = 4 y a\ = 9. Si x¡ = 26.0 y x 2 = 32.5, estim e /x usando
el estim ador del inciso (b) del ejercicio 10.2 1 .
1034 Se tom an m uestras aleatorias de tam año n, y rt2 de una población norm al con
la m edia /x y la varianza a 2. Si «, = 25. rt2 = 50, * , = 27.6 y x 2 = 38.1, estim e
H usando el estim ador del ejercicio 10.23.
1035 La inteligencia m ilitar de un país sabe que un enem igo construyó ciertos ta n ­
ques nuevos num erados en serie de 1 a k. Si se capturan tres de estos tanques
y sus núm eros de serie son 210,38 y 155, use el estim ador del inciso (b) del ejercicio
10 .12 para estim ar k.