Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
7.57 Si n variables aleatorias in d ependientes tienen la m ism a distribución gam m a
con los parám etros o y ^ , encuentre la función generatriz de m om entos de su
sum a y. si es posible, identifique su distribución.
7.58 Si n variables aleatorias independientes X , tienen distribuciones norm ales con
las m edias ¿t, y las desviaciones estándar erMencuentre la función generatriz de
m om entos de su sum a e identifique la distribución correspondiente, su m edia y
su varianza.
7.59 D em uestre la siguiente generalización del teorem a 7.3: Si A ',, X2,-.. y X n son variables
aleatorias independientes y Y = axX x + a2X 2 + " + anX n, entonces
A M O = ñ
i = l
M* , M
donde es el valor de la función generatriz de m om entos de X , en t.
7.60 U se el resultado del ejercicio 7.59 p ara m o strar q u e, si n variables aleatorias
in d ependientes X¡ tienen distribuciones norm ales con las m edias y las desviaciones
estándar <r„ entonces Y = axXx + a 2X 2 + ••• + anX ntiene una distribución
norm al. ¿C uáles son la m edia y la desviación e stá n d a r de esta distribución?
APLICACIONES
7.61 U n a abogada tiene un núm ero privado e n el cual recibe en prom edio 2.1 llam a­
das cada m edia hora y un núm ero que se encu en tra en el directorio telefónico
en el cual recibe en prom edio 10.9 llam adas cada m edia hora. Si se puede sup
o n e r que los núm eros de llam adas que recibe en estos teléfonos son variables
aleatorias independientes q ue tienen distribuciones de Poisson, ¿cuáles son las
probabilidades de que en m edia hora ella reciba en total
(a) 14 llam adas: (b) cuando m ucho seis llam adas?
7.62 E n un periódico, un vendedor de au to s anuncia un C hrysler Le B arón 1993, un
Ford Escort 1991, y un Buick Skylark 1994. Si el núm ero de entrevistas que ten ­
drá sobre estos autos se puede considerar com o variables aleatorias independ
ien te s que tien en distribuciones de Poisson con los p a rá m etro s A, = 3.6,
Aj = 5.8 y A3 = 4.6, ¿cuáles son las probabilidades de que en total tenga
(a)
(b)
(c)
m enos de 10 entrevistas sobre estos autos;
cualquier núm ero en tre 15 y 20 entrevistas sobre estos autos;
al m enos 18 entrevistas sobre estos autos?
7.63 Con resp ecto al ejercicio 7.62, ¿cuál es la probabilidad de que el vendedor de
autos tenga seis entrevistas sobre el Ford Escort 1991 y ocho entrevistas sobre
los otro s dos autos?
7.64 Si el núm ero de quejas que un negocio recibe por día es una variable aleatoria
que tiene la distribución de Poisson con A = 3.3, ¿cuáles son las probabilidades
d e que recibirá
(a)
dos quejas en un día dado;