Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

328 Capítulo 10: Estimación: teoría
— ._ . (72
y puesto que X es insesgado y var( X) = — de acuerdo al teorem a 8.1, se sigue
que X es estim ador insesgado de varianza m ínim a de
▲
Sería e rró n e o concluir a p a rtir de este ejem plo que X es un estim ador insesgado
de varianza m ínim a de la m edia d e cualquier población. C iertam ente, en el ejercicio
10.30 se pedirá al lector que verifique que esto no es así p ara m uestras aleatorias de ta ­
m año n = 3 de la población uniform e continua con a = 6 — £ y p = 0 + | .
C om o hem os indicado, los estim adores insesgados del m ism o p arám etro suelen
com pararse en térm inos del tam año de su varianza. Si 0 , y 0 2 son dos estim adores insesgados
del p a rá m e tro 6 de una población dada y la varianza de 0 , es m en o r que la
varianza de 0 2, decim os que 0 ! es relativam ente m ás eficiente que 0 2. T am bién,
usam os la razón
var(Qi)
v a r ( 0 2)
com o una m edida de la eficiencia de 0 2 relativa a 0 |.
EJEM PLO 10.6
E n el ejem plo 10.4 dem ostram os que si X x, X 2,..., X„ constituyen una m uestra aleatott
4" 1
ria de una población uniform e con a = 0, entonces — - — • Y„ es un estim ador insesgado
de (i.
Solución
(a ) D em uestre que 2X tam bién es un estim ador insesgado de p.
(b ) C om pare la eficiencia de estos dos estim adores de p.
(a ) P uesto que la m edia de la población es /¿ = ^ de acuerdo al teorem a 6.1,
O
se sigue por el teorem a 8.1 que E(X) = — y p or tan to que £ ( 2 A") = /3.
A sí, 2X es un estim ador insesgado de /3.
(b ) P rim ero debem os en co n trar la varianza de los dos estim adores. U sam os la
distribución m uestral de Yn y la expresión para E(Yn) dada en el ejem plo
10.4, y obtenem os