Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .5 : La distribución t 285
Figura 8 .2 D istribución t.
P(F £ O = a
La tabla no contiene valores de ta „ para a > 0.50, puesto que la densidad es sim étrica
con respecto a i = 0 y por tan to t = ~ t a „. C uando v es 30 o más, las p ro b a­
bilidades referen tes a la distribución t suelen aproxim arse con el uso de distribuciones
norm ales (véase el ejercicio 8.50).
E n tre tantas aplicaciones de la distribución t, algunas de las cuales se tra tará n en
los capítulos 11 y 13, su principal aplicación (para la cual se desarrolló originalm ente)
se basa en el siguiente teorem a.
t e o r e m a 8.13 Si X y S 2 son la m edia y la varianza de una m uestra aleatoria
de tam año n de una población norm al con la m edia yx y la varianza <r2, entonces
tiene la distribución t con n — 1 grados de libertad.
D em ostración.
P or los teorem as 8.11 y 8.4, las variables aleatorias
y = (" — ')# y z = Í - H Ü
(T2 (T / VTj
tienen, respectivam ente, una distribución ji cuadrada con n — 1 grados de libertad
y la distribución norm al estándar. Puesto que tam bién son independientes p or la
parte 1 del teorem a 8.11, la sustitución en la fórm ula para T del teorem a 8.12 nos da
X ~ ii
j — a l yf* x — X — ii
V s 2/<r2
S / V ñ
y esto com pleta la dem ostración.
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