Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 7.2: Técnica de la función de distribución 237
7 .2 T É C N IC A D E L A F U N C IÓ N D E D IS T R IB U C IÓ N
U n m étodo directo de o b ten er la densidad de probabilidad de una función de variables
aleatorias continuas consiste en encontrar prim ero su función de distribución y después
su densidad de pro b ab ilid ad por diferenciación. A sí, si X u X 2, . . . , X „ son variables
aleatorias continuas con una densidad de probabilidad conjunta, la densidad de p ro b a ­
bilidad de Y = u(X,, X2 X„) se obtiene al determ inar prim ero una expresión para
la probabilidad
y después se diferencia para obten er
F(y) = P(YSy) = P[u{Xl,X 2 Xn) S y ]
de acuerdo al teo rem a 3.6.
^
EJEM PLO 7.1
Si la densidad de probabilidad de X está dada por
« ■ > - 1 .
í 6x ( l — x ) p a ra 0 < x < 1
encuentre la densidad de probabilidad de Y = X 3.
Solución
• ílo
en cu a lq u ier o tra p a rte
Sea G (y ) el valor de la función de distribución de Y e n y , podem os escribir
y por tanto
G(y) = P(Y S y)
= P(X3 £ y)
= P(X S y ,/J)
ry«/3
= 3y 2/3 - 2y
6x( 1 - x)dx
g(y) = 2{y~^ - 1)
para 0 < y < 1; en cualquier o tra p a rte , g(y) = 0. E n el ejercicio 7.20 se le pedirá
el lector que verifique este resultado m ediante una técnica diferente. ▲
EJEM PLO 7.2
Si Y = | A”| , dem ostrar que
g(y)
. \f{y) + f(~y) p ara y > 0
[ 0 en cu a lq u ier o tra p a rte