Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 10.9: Estimación bayesiana 353
1 0 .9 E S T IM A C IÓ N B A Y E S IA N A t
H asta ahora hem os supuesto, en este capítulo, que los parám etros que querem os estim
ar son constantes desconocidas: en la estim ación bayesiana los parám etros se consideran
com o variables aleatorias que tienen distribuciones previas, que suelen reflejar
la fortaleza de las creencias de uno sobre los valores posibles que pueden asum ir. En la
sección 9.6 ya encontram os un problem a de estim ación bayesiana: el p arám etro era el
de una densidad uniform e y su distribución previa era una distribución gam m a.
El problem a principal de la distribución bayesiana es el de com binar creencias
previas sobre un p arám etro con evidencias m uéstrales directas, y en el ejem plo 9.9 conseguim
os esto al d e term in ar <p(0|jt), la densidad condicional de 0 dado X = x. En
contraste a la distribución previa de 0 , esta distribución condicional (que tam bién re ­
fleja la evidencia m uestral directa) se llam a la distribución posterior de 0 . E n general,
si h (6 ) es el valor d e la distribución previa de 0 en 0 y querem os com binar la inform
ación que expresa con la evidencia m uestral directa sobre 0 , por ejem plo, el valor de
una estadística W = u (X \ , X 2, . . . , X n), determ inam os la distribución p osterior de 0
p or m edio de la fórm ula
, 0 1 » ) - ^g { w ) g (w )
E n este caso /( iv |0 ) es el valor de la distribución m uestral de W dado 0 = 0 en w ,
f(0 . w ) es el valor d e la distribución conjunta de O y W en 0 y w , y g (w ) es el valor de
la distribución m arginal de W en w. A dvierta que la fórm ula an terio r p ara tp (0 \w ) es,
de hecho, una extensión al caso continuo del teorem a de Bayes, teorem a 2.13. D e ahí
el térm ino “estim ación bayesiana”.
U na vez que se ha obtenido la distribución posterior de un p arám etro, se puede
usar para hacer estim ados com o en el ejem plo 9.9, o se puede usar para hacer afirm a­
ciones probabilísticas acerca del p arám etro, com o se ilustrará en el ejem plo 10.20. A u n ­
q u e el m étodo que hem os descrito tiene am plias aplicaciones, aquí lim itarem os nuestro
exam en a inferencias sobre el p arám etro 0 de una población binom ial y la m edia de
una población norm al; en el ejercicio 10.92 se tratan las inferencias acerca del p arám e­
tro de una población de Poisson.
t eo r em a 10.5 Si X es una variable aleatoria binom ial y la distribución previa de
0 es una distribución beta con los parám etros a y p , entonces la distribución posterio
r de 0 d ado X = x es una distribución beta con los parám etros x + a y
n - x + p .
t Algunos de los conceptos y lenguaje usados en esta sección se introdujeron en el capítulo 9. el
capítulo opcional sobre teoría de decisiones.