Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 7.3: Técnica de transform ación: una variable 243
en vez de los correspondientes valores de X . E sto es todo lo que hay para la técnica de
la transformación (o cambio de variable) en el caso discreto m ientras la relación sea
unívoca. Si la relación no es unívoca, podem os proced er com o en el siguiente ejem plo.
EJEM PLO 7.5
Con respecto al ejem plo 7.4, encuentre la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria Z = (X — 2 )2.
Solución
C alculam os las probabilidades h(z) asociadas con los diversos valores de Z , y o b ­
tenem os
m = /( 2 )
U
“ 16
h( i ) = / ( 1 )
+
II
4 4 8
16 T 16 16
h( 4) = / ( 0 )
+
II
T
_1_ 1, 1 _2_
16 16 16
y por tanto
0 1 4
h(z)
3 4 1
8 8 8
P ara efectuar una transform ación de la variable en el caso continuo, supondrem os
que la función dada p o r y = u(x) es diferenciable ya sea creciente o decreciente para
todos los valores d en tro del intervalo de X para el cual f(x) ^ 0, de m anera que la
función inversa, d a d a por x — w(y), existe para todos los valores correspondientes de
y y es diferenciable excepto donde u'(x) = O.t Bajo estas condiciones, podem os p ro ­
b ar el siguiente teorem a
t e o r e m a 7.1
Sea / ( x) el valor de la densidad de probabilidad de la variable
a le a to ria c o n tin u a X e n x . Si la fu n c ió n d a d a p o r y = n(x) e s d ife re n c ia b le y ya
sea creciente o decreciente para todos los valores dentro del intervalo de X para
el cual f{x) ¥=■0 . entonces, para estos valores de x, la ecuación y = u(x) se puede
despejar de m anera única en x para x = w{y), y para los valores correspondientes
de y la densidad de probabilidad de Y = u{X) está dada por
tP a ra evitar puntos donde u'(x) podría ser 0, generalmente no incluimos los puntos terminales
de los intervalos para los cuales las densidades de probabilidad no son cero. Ésta es la práctica que hemos
seguido y continuaremos siguiendo en todo este libro.