Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

192 Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales
pecificada es una variable aleatoria de Poisson con la m edia A = a t (véase el ejercicio
5.48). P or consiguiente, el núm ero de éxitos, X, en un intervalo de tiem po de longitud
t unidades o una región de tam año t unidades tiene la distribución de Poisson
p(x; at) = -— para x = 0 , 1 , 2 ,...
EJEM PLO 5.13
C ierta clase de lám ina de m etal tiene, en prom edio, cinco defectos por cada 10 pies cuadrados.
Si suponem os una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de q ue una
lám ina del m etal de 15 pies cuadrados tendrá al m enos 6 defectos?
Solución
Sea X el núm ero de defectos en una lám ina del m etal de 15 pies cuadrados. E n ­
tonces, p u esto que la unidad de área es 10 pies cuadrados, tenem os
y
A = a t = (5 )( 1.5) = 7.5
P ( X £ 6 ) = 1 — P ( X á 5 ) = 1 - 0.2414 = 0.7586
de acuerdo a la im presión de com putadora m ostrada en la figura 5.4.
▲
EJERCICIOS
5.33 A veces se define la distribución binom ial negativa en una form a diferente com
o la distribución del núm ero de fracasos q ue precede el Aésimo éxito. Si el
Aésimo éxito ocurre en el xésim o ensayo, debe esta r precedido p o r x — k fracasos.
A sí, encuentre la distribución de Y = X — k, donde X tiene la distribución
de la definición 5.4.
5 3 4 C on respecto al ejercicio 5.33, encuentre expresiones para p Y y a y ■
5 3 5 D em uestre el teorem a 5.5.
5 3 6 D em uestre el teorem a 5.6 al determ inar prim ero E(X) y E[X(X + 1 ) ] .
5 3 7 D em uestre que la función generatriz de m om entos de la distribución geom étrica
está d a d a por
de'
Mxit) = 1 - e '( l - 0 )
5 3 8 U se la función generatriz de m om entos derivada en el ejercicio 5.37 para mos-
1 , 1 - 0
tra r que p ara la distribución geom étrica, ¡x = - y cr = —- 5— .
o o*
5 3 9 Al diferenciar con respecto a 0 las expresiones en am bos lados de la ecuación
oc
5 > ( 1 - 0 ) 1 - 1 = 1
1= 1