Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 10.2: Estimadores insesgados 323
estim aciones y los estimadores de intervalos y las estimaciones de intervalos, que p re ­
sentarem os en el capítulo 1 1 .
Puesto que los estim adores son variables aleatorias, uno de los problem as clave
de la estim ación puntual es estudiar las distribuciones m uéstrales. Por ejem plo, cuando
estim am os la varianza de una población con base en una m uestra aleatoria, difícilm ente
podem os esp erar que el valor de S 2 que obtenem os será realm ente igual a a 2, pero
nos tranquilizaría, al m enos, saber si podem os esperar que esté cerca. T am bién, deb e ­
m os decidir si usar una m edia de la m uestra o una m ediana de la m uestra para^estim ar
la m edia de una población, seria im portante saber, entre otras cosas, si X o X es más
probable que nos dé un valor que sea en realidad cercano.
Así, se pueden usar diversas propiedades estadísticas de los estim adores p ara d e ­
cidir qué estim ador es más apropiado en una situación dada, cuál nos expone a un riesgo
m ás pequeño, cuál nos d ará la m ayor inform ación al costo m ás bajo, y así sucesivam ente.
E n particular las propiedades de los estim adores que exam inarem os en las secciones
1 0 .2 a 10 .6 son insesgabilidad. varianza mínima, eficiencia, consistencia, suficiencia
y robustez.
10.2 ESTIMADORES INSESGADOS
C om o vim os en la página 315, no existen funciones de decisión perfectas, y en relación
con los problem as de estim ación esto significa q ue no hay estim adores perfectos que
siem pre den la respuesta correcta. Así, parecería razonable que un estim ador d eba h a­
cerlo al m enos en el prom edio; esto es, su valor esperado debe ser igual al parám etro
q ue se supone estim a. E n este caso, se dice que el estim ador es insesgado; de o tra m a­
nera, se dice que es sesgado. Form alm ente:
d e f i n i c i ó n 10.1
£ ( e ) = e.
U n a estadística 0 es un estimador insesgado del p arám etro
Los siguientes son algunos ejem plos de estim adores insesgados y sesgados.
EJEM PLO 10.1
Si X tiene la distribución binom ial con los parám etros n y 6. dem uestre que la propor-
ción m uestral, — , es un estim ador insesgado de 8.
Solución
Puesto que E{X) = n8, se sigue que
X
y por tan to que — es un estim ador insesgado de 6 .
A