Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

214 Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales
tiem po t (véase tam bién el ejercicio 5.41) está dada por —
1 - F(t)
Así, la tasa
de defecto en el tiem po t es la densidad de probabilidad de defecto en el tiem ­
p o t d ado que no ocurre un defecto antes del tiem po t.
(a)
(b)
M uestre que si T tiene una distribución exponencial, la tasa de defecto es
constante.
M uestre q ue si T tiene una distribución de W eibull (véase el ejercicio
6.23), la tasa de defecto está dada por
6 .2 5 Verifique que la integral de la densidad beta desde — hasta ° ° es igual a 1 para
(a) a = 2 y (3 = 4;
(b) a = 3 y /3 = 3.
6 .2 6 M uestre que si a > 1 y 0 > 1, la densidad beta tiene un m áxim o relativo en
a — 1
X~ a + i3 - 2 '
6 2 7 Bosqueje las gráficas de las densidades b e ta que tienen
(a) a = 2y/3 = 2 ;
(b) « = i y 0 = 1;
(c) a = 2 y 0 = *;
(d) a = 2 y [i = 5.
[Sugerencia: p ara evalu ar r(j) y r ( | ) , utilice la fórm ula recursiva r(a) =
(a — l)*r(a— 1) y el resultado del ejercicio 6.9.]
6 .2 8 V erifique la expresión dada p ara / 4 en la dem ostración del teorem a 6.5.
6 .2 9 D em uestre q ue los parám etros de la distribución beta se pueden expresar com
o sigue en térm inos de la m edia y la varianza de esta distribución:
V ( 1 - M)
(a) a = /x
(b) ( 1 -/*)
> ( 1 - M) - 1
a2
6.30 Karl P earson, uno de los fundadores de la estadística m oderna, dem ostró que
la ecuación diferencial
1 d[f(x)]_
d - .t
f(x) dx a + bx + ex*
nos da (para valores apropiados de las constantes a, b. c y d) la m ayor parte de las
distribuciones im portantes de la estadística. Verifique que la ecuación diferencial da
(a)
(b)
la distribución gam m a cuando a = c = 0 , b > Oy d > —b\
la distribución exponencial cuando a = c = d = 0yb>0:
d — 1 d
(c) la distribución beta cuando a = 0 , b = - c , — - — < 1 y - > - 1.
b
b