Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

340 Capítulo 10: Estimación: teoría
f(x,,x2,x3) =
p ara x, = 0 o 1 e i = 1, 2, 3. P uesto q ue /(1 , 1,0) = ^(l - 0) y f{0 ,0 , l ) =
0 ( 1 - » ) ' ', se sigue que
/( 1.1.°|V = l ) = = e
y se puede ver q ue esta probabilidad condicional depende de 6. H em os m ostrado
así que Y — ¿(A -, + 1 X 2 + 3X3) no es un estim ador suficiente del parám etro
0 de una población de B em oulli. ▲
Porque p u ed e ser m uy tedioso com probar si una estadística es un estim ador suficiente
de un p arám etro basado directam ente en la definición 10.3, suele ser m ás fácil
basarlo m ejor en el siguiente teo rem a d e factorización.
teo r em a 1 0 .4 La estadística Ó es un estim ador suficiente del parám etro 0 si y
sólo si la distribución o densidad de probabilidad conjunta de la m uestra aleato ­
ria se puede factorizar de m anera que
f{x\,x .........xa\ 0 ) = g(0,0)-h(xx,x2
x„)
donde g(0,0 ) sólo depende de 0 y 6, y de h(xl,x2, . . . ,* „ ) no depende de 6.
E n los textos m ás avanzados se puede en co n trar una dem ostración de este teorem a;
vea, por ejem plo, el libro de H ogg y C raig incluido entre las referencias al final de este
capítulo. E n este caso, ilustrem os el uso del teorem a 10.4 p o r m edio del siguiente
ejem plo.
EJEM PLO 10.12
M uestre que X es un estim ador suficiente de la m edia ¿i de una población norm al con
la varianza conocida a 2.
Solución
Al hacer uso del hecho que
.........
obtenem os: