Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

58 Capítulo 2: Probabilidad
EJEM PLO 2.21
U na caja de fusibles contiene 20 fusibles, de los cuales cinco están defectuosos. Si se seleccionan
tres fusibles aleatoriam ente y se sacan de la caja en sucesión sin reem plazo,
¿cuál es la probabilidad de que los tres fusibles estén defectuosos?
Solución
Si A es el even to de que el prim er fusible esté defectuoso, B es el evento de que
el segundo fusible esté defectuoso, y C es el evento de que el tercer fusible esté
defectuoso, entonces P{A) = P{B\A) = P(C\A H B) = ^ y la su stitu ­
ción en la fórm ula nos da
^ n « n c ) = A . ± . l
1
114 A
G eneralizaciones adicionales de los teorem as 2.9 y 2.10 a & eventos son simples,
y la fórm ula resultante se puede dem ostrar p or inducción m atem ática.
2.7 EVENTOS INDEPENDIENTES
H ablando de m anera inform al, dos eventos A y B son in d e p e n d ie n te s si la ocurrencia
o no ocurrencia de cualquiera de los dos no afecta la probabilidad de la ocurrencia del
otro. Para ilustrarlo tom em os el ejem plo precedente, donde las selecciones habrían sido
independientes si cada fusible se hubiera reem plazado antes de que el siguiente se
seleccionara; la p ro b ab ilid ad de sacar un fusible defectuoso habría perm anecido
C on sím bolos, dos eventos A y B son in d ependientes si P(B\A) = P(B) y
P(A\B) = P(A), y se puede dem ostrar que cualquiera de estas igualdades implica a la
o tra cuando am bas probabilidades condicionales existen, esto es, cuando ni P(A) ni
P(B) es igual a cero (véase el ejercicio 2.65).
A hora, si sustituim os P(B) por P(B |A ) en la fórm ula del teorem a 2.9, obtenem os
P(A (IB) = P(A)-P(B\A)
= P(A)-P(B)
y usarem os esto com o nuestra definición form al de independencia.
d e f in ic ió n 2.2
D os eventos A y B son in d e p e n d ie n te s si y sólo si
P{Af\B) = P(A)'P(B)
Siguiendo los pasos en sentido inverso, podem os dem ostrar que la definición 2.2 im plica
la definición de independencia que dim os anteriorm ente.