Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

160 Capítulo 4: Esperanza matemática
EJEM P LO 4.18
Si las variables aleatorias X, Y y Z tienen las medias /jlx = 2, = ~ 3 y ¿ i/ = 4, las varianzas<r\
= l,<7y = 5 y <r\ = 2, y las covarianzas cov(A ', Y) = —2. cov(AT, Z ) = - 1 y
cov(K , Z ) = 1, encuentre la m edia y la varianza de W = 3X — Y + 2Z .
Solución
P or m edio del teorem a 4.14, obtenem os
E(W) = E{3X - Y + 2Z)
= 3 E(X) - E(Y) + 2E(Z)
= 3 - 2 - ( - 3 ) + 2 - 4
= 17
y
v a r(W ) = 9 var(A ') + v a r ( y ) + 4 v a r(Z ) — 6 cov(A \ P )
+ 12 cov(X, Z ) - 4 cov(V , Z )
= 9-1+5 + 4*2 - 6 ( —2) + 12( — 1) - 4-1
= 18 ▲
Lo que sigue es o tro teorem a im portante acerca de com binaciones lineales de variables
aleatorias; se refiere a la covarianza de dos com binaciones lineales de n variables
aleatorias.
t e o r e m a 4 .1 5 Si A ',, X 2 Xn son variables aleatorias y
y, = i > , * , y n = Í > , * ,
i* l i - 1
donde a , , a2, . . . , a„ . bx, b2, . . . , bn son constantes, entonces
c o v (P ,, y2) = - v a r ( ^ ) + £ 2 (a‘b¡ + aibi)' cov(Xt, X,)
i» l /</
La dem ostración de este teorem a, que es m uy sim ilar a la del teo rem a 4.14, se dejará
al lector en el ejercicio 4.67.