Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

252 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
J =
dxx
dy¡
dX2
dy,
dx¡
dy2
dx2
dy2
E n cualquier otra parte, g ( y i,> 2) = = 0.
N o dem ostrarem os este teorem a, pero la inform ación sobre los jacobianos y su
aplicación se puede en co n trar en la m ayoría de los libros de tex to de cálculo avanzado.
Se usan principalm ente en relación con integrales m últiples, digam os, cuando q u e re ­
m os cam biar d e coordenadas rectangulares a coordenadas polares o de coordenadas
rectangulares a coordenadas esféricas.
EJEM PLO 7.12
C on respecto a las variables aleatorias X x y X 2 del ejem plo 7.11, encuentre
Solución
(a ) la densidad conjunta de Y x = X x + X 2 y Y2 = - - - y1- ;
A , + X 2
(b ) la densidad m arginal de Y2.
(a ) D espejam os >•, = x x + x 2 y y 2 — x p ara x , y x 2, y obtenem os x x =
1 * 2
y xy2 y X2 = y ,( l - y2), y se sigue que
J =
>-2 y x
i - yi ~y\
= ~ y x
P uesto que la transform ación es unívoca, al rep resen tar la región x x > 0 y
x 2 > 0 en el plano x xx2-en la región y, > 0 y 0 < y 2 < 1 en el plano yxy2,
podem os usar el teorem a 7.2 y se sigue que
g(y nYi) =
= y\e~y'
p ara yx > 0 y 0 < y2 < 1 ; en cualquier otra p a rte g(>-|, y2) = 0 .
(b ) A l usar la densidad conjunta obtenida en el inciso (a) y sacar y,, por in tegración,
obtenem os