Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

250 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
Solución
Puesto que X x y X 2 son independientes, su distribución conjunta está dada por
A x \>x2) =
e ^ A , ) * ' e“ Al(A2)*2
x \ ! * 2*
^-<AI +A2)(AI )Jt,(A 2)^
* ,!* 2!
p ara *, = 0 , 1, 2 ,... y x2 = 0 , 1 , 2 Puesto que y = x¡ + x2 y p o r tanto x , =
y — x 2, podem os sustituir y — x2 en vez de x ,. obteniendo
g (y ^x 2) =
e- ( ^ \ \ 2y ^ x xy - ^
x :'-(y ~ x 2)'-
p ara y = 0, 1, 2 ,... y x 2 = 0 , 1 ,... ,y , p ara la distribución conjunta de Y y X 2. E n ­
tonces. al sum ar sobre x 2 de 0 a y, obtenem os
h(y) ~ 2 . *,!{, - * )!
después sacam os com o factor e'*A| + Aj' y m ultiplicam os y dividim os por y!. Id en ­
tificam os la sum a a la q ue hem os llegado com o la expansión binom ial de
(A, + A2) \ y finalm ente obtenem os
e-<A,+*2)(Aj + Aiyv
h (y ) = ------------ — p a ra y = 0 , 1 , 2 , . . .
y hem os m ostrado así q u e la sum a de dos variables aleatorias independientes que
tienen distribuciones de Poisson con los parám etros A, y A2 tiene u na distribución
de Poisson con el parám etro A = A, + A2. ▲
EJEM PLO 7.11
Si la densidad de probabilidad conjunta de X x y X 2 está dada por
.-<*1 +*2) p a ra Xx > 0 , x 2 > 0
- { *
en cu a lq u ier o tra p a rte
y
encuentre la densidad de probabilidad de Y = 1 .
X\ + X 2
Solución
Puesto que y decrece cuando x2 aum enta y x, se m antiene constante, podem os
usar el teorem a 7.1 (com o se modificó en la página 249) para encontrar la densidad
Xi
1 — y
conjunta de AT, y Y. Puesto que y = — —— nos da x2 = xX‘ — -— y por tanto
X\ + X2 y