Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 14.7: Regresión lineal múltiple (notación matricial) 485
D em ostración.
Prim ero determ inam os X 'X , X ’X B . y X 'Y , y obtenem os
fn 2 * , 2*2 ■2**
2 * . 2*1 2*1*2 " • 2 * i* *
X X = 2*2 2*2*1 2*1 • • 2*2**
y 2 ** 2 ***! 2***2 • ■ 2 4 /
( k n + k 2 *, + k 2 * 2 + • • + k 2 **
k 2 *. + k 2 *? + k 2 *, *2 + • • + k ' 2 *,**
X 'X B = k 2 * 2 + k 2 * 2*1 + 2 * 1 + • • + k 2 * 2**
J o 2 ** + k 2 ***i + k 2 * * * 2 + • • + k - 2 * 1
X Y =
/ 2 y \
2 * , y
2 *2y
\ 2**y/
Al identificar los elem entos de X 'X B com o las expresiones en el lado d e­
recho de las ecuaciones norm ales en la página 482 y las de X 'Y com o las expresiones
en el lado izquierdo, podem os escribir
X 'X B = X ’Y
A l m ultiplicar en el lado izquierdo p or ( X 'X ) -1, obtenem os
y finalm ente
( X 'X ) - 1X 'X B = ( X 'X ) - , X 'Y
B = ( X 'X T ’X 'Y
puesto que ( X 'X ) - I X 'X es igual a la m atriz de identidad I (k + 1) X ( k + 1)
y por definición IB = B. En este caso hem os supuesto q ue X 'X no tiene singularidad
de m anera que existe su inversa. ▼
14.11
C on respecto al ejem plo 14.9, use el teorem a 14.7 p ara determ inar las estim aciones de
m ínim os cuadrados de los coeficientes de regresión m últiple.
Solución
Al sustituir = 25, 2 * 2 = 16. 2 * i = 87. 2 * i * 2 = 55, 2 * 1 = 36 y « = 8 de
la página 482 en la expresión para X 'X de arriba, obtenem os