Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .7: Estadísticas de orden 297
8.84 H ay m uchos problem as, particularm ente en aplicaciones industriales, donde nos
interesa la proporción de una población que se encuentra en tre ciertos límites.
T ales lím ites se llam an lím ites de tolerancia. Los pasos siguientes nos llevan a
la distribución de m ucstreo de la estadística P, q ue es la proporción de una p o ­
blación (que tiene una densidad continua) que se encuentra entre los valores
m ás p e q u eñ o y m ás grande de una m uestra aleatoria de tam año n.
(a ) U se la fórm ula para la densidad conjunta de Y] y Yn que se m uestra en el
ejercicio 8.78 y la técnica de la transform ación de la sección 7.4 para d e­
m o strar que la densidad conjunta de Y^ y P, cuyos valores están dados por
P =
[ ' f ( x ) dx
es
/»(y,.p) = n {n - 1 )f \y l)pn~ 2
(b ) U se el resultado del inciso (a) y la técnica de la transform ación de la sección
7.4 para dem o strar que la densidad conjunta de P y W. cuyos valores
están dados por
es
w = / f ( x ) d x
- rJ - 0
= n (n - 1 )p n
(c)
para w > 0 , p > 0 , iv + p —* 1 y tp (w ,p ) = 0 en cualquier o tra parte,
U se el resultado del inciso (b) para dem ostrar que la densidad m arginal de
P está dada por
g{P )
= | : "
— l ) p n-2( l - p ) p ara 0 < p < 1
en cu a lq u ier o tra p a rte
Ésta es la densidad deseada de la proporción de población que se encuentra
en el valor m ás pequeño y en el más grande de una m uestra aleatoria
de tam año n , y resulta interesante observar que no depende de la form a de
la distribución de la población.
8.85 Use el resultado del ejercicio 8.84 para dem o strar que. para la variable aleato ­
ria P definida ahí.
£ (/> , = y v a r(P ) = - -
¿Q ué podem os concluir de esto sobre la distribución de P cuando n es grande?
APLICACIONES
8.86 E ncuentre la probabilidad de que en una m uestra aleatoria de tam año n = 4
de la población uniform e continua del ejercicio 8.72, el valor m ás pequeño se ­
rá al m enos 0 .2 0.