Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5 .7: La distribución de Poisson 191
D em ostración. Por las definiciones 4.6 y 5.7,
« * ( ' ) - = <■-'• i {- ^ T
x- 0 x • i=o x -
00 (A e‘)x
d onde ^ — j— se puede reco n o cer com o la serie de M aclaurin de ez con
»=o
z — Áe1. A sí,
Mx (t) = e - * - e Aí' =
E ntonces, sí diferenciam os Mx (t) dos veces con respecto a t. obtenem os
de m anera que /x\ = M'x ( 0) = A y
M'x(t) = Áe,e* t’- l)
Mx (t) = Ae'eAl<'_,) + A2e V (*'~l)
= A/j(0) = A + A \ Así, /x = A y o 2 — /x; — fx2
= (A + A2) — A2 = A, lo cual concuerda con el teorem a 5.8.
A unque la distribución de Poisson se ha derivado com o u n a form a lím ite de la
distribución binom ial, tiene m uchas aplicaciones que no tienen relación directa con distribuciones
binom iales. P or ejem plo, la distribución de Poisson puede servir com o un
m odelo p ara el núm ero de éxitos que ocurren duran te un intervalo de tiem po d ado o
en una región específica cuando ( 1) son independientes los núm eros de éxitos que ocurren
e n intervalos de tiem po o regiones que no se traslapan, ( 2 ) la probabilidad de que
ocurra un solo éx ito en un intervalo de tiem po m uy corto o en una región m uy p equeña
es p ro porcional a la longitud del in tervalo de tiem po o al tam añ o de la región, y
(3) la probabilidad de que m ás de un éxito ocurra en tal intervalo corto de tiem po o
que caiga en tal región pequeña es insignificante. D e ahí, una distribución de Poisson
podría describir el núm ero de llam adas telefónicas recibidas por hora en una oficina, el
núm ero de e rro res de m ecanografía por página o el núm ero de bacterias en un cultivo
d ado cuando se conoce el núm ero prom edio de éxitos. A, para el intervalo de tiem po
o la región específica dados.
EJEM PLO 5.12
El núm ero de cam iones que llegan en un día cualquiera a un p a rad ero de cam iones en
cierta ciudad se conoce que es 12. ¿C uál es la probabilidad de que en un día dado lleguen
m enos de 9 cam iones a ese paradero?
Solución
Sea X el núm ero de cam iones que llegan en un día dado. E ntonces, usam os la ta ­
bla II con A = 12, y obtenem os
8
P { X < 9) = 2 p ( j c ; 12) = 0.1550
*=o
Si, en una situación donde son válidas las condiciones anteriores, los éxitos ocurren
a una tasa m edia de a por unidad de tiem po o por unidad de región, entonces el
núm ero de éxitos en un intervalo de / unidades de tiem po o t unidades de la región es-
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