Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

294 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo
D em ostración. Supongam os que el eje real está dividido en tres intervalos,
uno de — co a y r, un segundo de y , a y r + h (donde h es una constante p o ­
sitiva), y e l terc ero de y , + h a oo. P uesto que la población q u e estam os
m uestreando tiene el valor / ( x ) en x, la probabilidad de que r — 1 de los valores
de la m u estra caigan en el prim er intervalo, uno caiga en el segundo intervalo,
y n — r caigan en el tercer intervalo es
(
de acuerdo a la fórm ula para la distribución m ultinom ial. U sam os la ley de la m e­
dia del cálculo, y tenem os
i:
*yr +h
f ( x ) dx = /( £ ) •h c u a n d o y , ^ y , + h
y si hacem os /i —►0 , obtenem os finalm ente
gÁy') = ( r - l ) " ( n - r ) ' . [ J ^ x)dx}
Á y , ) [ [ ^ ) d x
p ara — oo < y r < oo para la densidad de probabilidad de la résim a estadística
de orden. ▼
E n p a rticu la r, la distribución de m u estreo de Yx, el v alor m ás p e q u eñ o e n la
m uestra aleatoria de tam año n , está dada por
fl- 1
p a ra —oo < y, <
oo
m ientras que la distribución de m uestreo de Y„, el valor m ás grande en una m uestra
aleatoria de tam año n , está dada por
oo
T am bién, en una m uestra aleatoria de tam año n = 2m + 1 la m ediana d e la m uestra
X es Tm+I, cuya distribución de m uestreo está dada por
', ( í ) =
p a ra —oo < x <
oo
[Para m uestras aleatorias de tam año n = 2 m . la m ediana se define com o \{ Y m + V'm+,).]
E n algunos casos es posible efectu ar las integraciones requeridas para o b ten e r las
densidades de las diversas estadísticas de orden; p ara otras poblaciones tal vez no h a ­
ya o tra opción q u e aproxim ar estas integrales usando m étodos num éricos.
E JEM P LO 8.4
M uestre que p ara una m uestra aleatoria de tam año n de una población exponencial
con el parám etro 6, las distribuciones de m uestreo de Y¡ y Yn están dadas por: