Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

182 Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales
Los m om entos de la distribución binom ial negativa se pueden o b ten er al pro ced
e r com o en la dem ostración del teorem a 5.2; para la m edia y la varianza obtenem os
com o se pedirá al lector que verifique en el ejercicio 5.36.
Puesto que la distribución binom ial negativa con k = 1 tiene m uchas aplicaciones
im portantes, se le ha dado un nom bre especial: distribución geom étrica.
d e fin ic ió n 5 5 U n a variable aleatoria X tiene una distribución geom étrica y se
le conoce com o una variable aleatoria geom étrica si y sólo si su distribución de
probabilidad está dada por
g(x; 0) = 0(1 - 0 ) * -' p a ra jc = 1 ,2 , 3 ....
EJEM PLO 5.5
Si la probabilidad es 0.75 de que el solicitante de una licencia de m anejo pasará la prueba
de m anejo en un ensayo dado, ¿cuál es la probabilidad de que un solicitante finalm
ente pase la p ru eb a en el cuarto ensayo?
Solución
A l sustituir x = 4 y 0 = 0.75 en la fórm ula de la distribución geom étrica, o b te ­
nem os
g(4 ; 0.75) = 0.75(1 - 0.75)4 - '
= 0.75(0.25 ) 3
= 0.0117
P or supuesto, este resultado se basa en la suposición de que las pruebas son independientes
y aquí puede haber algunas dudas sobre su validez. ▲
5 .6 L A D IS T R IB U C IÓ N H IP E R G E O M É T R IC A
En el capítulo 2 usam os el m uestreo con y sin reem plazo para ilustrar las reglas de m ultiplicación
para eventos independientes y dependientes. Para obten er una fórm ula an á­
loga a la de la distribución binom ial que sea válida para el m uestreo sin reem plazo, en
cuyo caso los ensayos no son independientes, considerem os un conjunto de N elem en ­
tos de los cuales M se consideran com o éxitos y los otros N - M com o fracasos. A sí co-