Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

230 Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales
P ara estu d iar esta distribución conjunta, m ostrem os prim ero que los parám etros
/x,, <r¡ y a 2 5 0 0 Ia5 m edias y las desviaciones están d ar de las dos variables aleato ­
rias X y Y. Para em pezar, integram os sobre y de — oo a oo y obtenem os
s(x) m
'
2 tT (7 1cr2 V I — p J -o o
para la densidad m arginal de X . E ntonces, hacem os la sustitución tem poral u = — - ■—
p ara sim plificar la n o tación y si cam biam os la variable de integración al h acer v =
y ~ th -, obtenem os
----- '— y
e 2(*— f 1 ^ (xr-lpuv) ,
s i* ) = ~— r / 7^ = i / * 2(1 ^ d v
2ttct[ V i — P J-oo
D espués de com pletar el cuadrado al hacer
v2 — 2 pu v = (v — p u )2 — p2u2
y reu n ir térm inos, esto se vuelve
(T| V 2 tT l V27T V i — p J - *
J
Finalm ente, identificam os la cantidad en tre paréntesis com o la integral de una densid
ad norm al de — oo a oo y, por tan to , al hacer igual a 1, obtenem os
-V >
e 2 1
s ( x ) = ~ T / T = = ~ T J T e 2
(7 , V 2 ir a t V 2ir
p ara —oo < x < oo. Se sigue p o r inspección q ue la d ensid ad m arginal de X es una
distribución norm al con la m edia p x y la desviación e stá n d a r a x y, por sim etría, que
la densidad m arginal d e Y es una distribución norm al con la m edia /x2 y la desviación
e stá n d a r a 2.
E n lo tocante al p arám etro p donde p es la m inúscula d e la letra griega rho, se
llam a el coeficiente de correlación, y la integración necesaria m ostrará que cov(A', Y ) =
p a xa 2. A sí. el p arám etro p m ide cóm o varían ju n tas las variables aleatorias X y Y, y su
significado se analizará con m ás detalle en el capítulo 14.
C uan d o tratam o s con un p ar de variables aleatorias que tienen una distribución
norm al bivariada, sus densidades condicionales tam bién son de im portancia; dem o strem
os el siguiente teorem a.