Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 7.3: Técnica de transform ación: una variable 245
donde efectuam os el cam bio de variable y = u(x), o en form a equivalente
x = w(y), en la integral. D e acuerdo con la definición 3.4, el integrando da la
densidad de probabilidad de Y m ientras w'(y) exista, y podem os escribir
g(y) = / M . v ) K ( y )
C uando la función dada por y = u(x) es decreciente, se puede ver de la figura
7.3 q ue X d ebe asum ir un valor en tre w(b) y w(a) cuando Y asum e un valor e n ­
tre ay b. P o r tanto
P(a < Y < b) = P[w{b) < X < w ( a )]
/•«-(»)
= / f{x)dx
Jw(b)
= f[(y)]w'(y) <*y
.h
= - í AM y)]w'(y)dy
donde efectuam os el m ism o cam bio de variable com o antes, y se sigue que
g (y ) = - f l M y )]tu ' (y )
P uesto que w?'(y) = — = - 7- es positivo cuando la función dada por v = u(x)
ay ay
dx
es creciente, —w'(y) es positivo cuando la función dada por y = u(x) es decre*
cíente, podem os com binar los dos casos al escribir
g(y) = AMy)]- lw'(y)l ▼
EJEM PLO 7.6
Si X tiene la distribución exponencial d ada por
p a ra x > 0
f(x) =
- [ r 0 en cu a lq u ier o tra p a rte
encuentre la densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y = V A \
Solución
La ecuación y = V x , que relaciona los valores de X y Y, tiene la inversa única
x = y 2, q u e da t r '( y ) = ^ = 2y. Por consiguiente,
dy
g (y ) = e~y‘ \2 y \ = 2ye_v
para y > 0 de acuerdo al teorem a 7.1. Puesto q ue la probabilidad de o b ten e r un
valor de Y m enor que o igual a 0, com o la probabilidad de o b ten er un valor de
X m enor que o igual a 0. es cero, se sigue que la densidad de probabilidad de Y
está dada por