Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5.4: La distribución binom ial 177
V erifique esta fórm ula y úsela para calcular los valores de la distribución binom
ial con n = 7 y 6 = 0.25.
5.9 Use la fórm ula recursiva del ejercicio 5.8 para dem o strar que para 0 = \ la distribución
binom ial tiene
(a)
(b)
un m áxim o en x = ^ cuando n es par;
n — 1 n + 1 ,
m áxim os en x = — - — y x = — - — cuando n es im par.
5.10 Si X es u n a variable aleatoria binom ial, ¿para qué valor de 0 es la probabilid
ad de b{x\ n , 6) un m áxim o?
5.11 E n la dem ostración del teo rem a 5.2 determ inam os la cantidad E[X(X — 1)],
llam ado el segundo momento factorial. E n general, el résim o m om ento factorial
de X está dado por
*ir) = E[X(X - 1){X - 2 )* ... -(X ~ r + 1)]
E xprese /x3 y en térm inos de los m om entos factoriales.
5.12 La fundón generatriz de momentos factoriales de una variable aleatoria discreta
X está d a d a por
Fx ( t ) = £ ( < * ) = 2 '• / M
D em uestre que la résim a derivada de Fx ( t) con respecto a t en t = 1 es fx¡r), H
résim o m om ento factorial definido en el ejercicio 5.11.
5.13 C on respecto al ejercicio 5.12, encuentre la función generatriz de m om entos factoriales
de
(a) la distribución de B ernoulli y d em u estre que ^i¡„ = 0 y = 0 para
r > 1;
(b) la distribución binom ial y úsela para encontrar /x y a 2.
5.14 Si hacem os a = — n en la prim era parte del teorem a 4.10, donde /x es la m e­
dia de X. obtenem os
AM O = A#jr-,(0 = e ~ » - M x (t)
(a) D em uestre que la résim a derivada de My-^it) con respecto a • en t = 0
da el résim o m om ento alrededor de la m edia de X.
(b) E ncuentre esa función generatriz para los m om entos alred ed o r de la m e­
dia de la distribución binom ial, y verifique que la segunda derivada en
t = 0 e s n fl(l - 0).
5.15 U se el resultado del inciso (b ) del ejercicio 5.14 para dem ostrar que p ara la distribución
binom ial
1 - 20
a 3 - .
V / i 0 ( l - 0 )
donde a 3 es la m edida de la asim etría definida en el ejercicio 4.34. ¿Q ué p o d e­
m os concluir sobre la asim etría de la distribución binom ial cuando;
X