Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 2.5: Algunas reglas de probabilidad 43
m os en los capítulos 3 y 6. es relevante el hecho que P ( A ) = 0 no im plica que A = 0
es pertinente, especialm ente, en el caso continuo.
t e o r e m a 2.5 Si A y B son eventos en un espacio m uestral S y A C B . en to n ­
ces P{A) % P{B).
Demostración.
Puesto que A C B. podem os escribir
B = A U {A' f l B)
com o se p u ed e verificar fácilm ente m ed ian te un diagram a de V enn. Entonces,
puesto que A y A ' H B son m utuam ente excluyentes, obtenem os
P(B) = P{A) + P(A'C\B) (p o r el postulado 3)
^ P(A) (p o r el postulado l ) ▼
E n palabras, este teo rem a enuncia que si A es un subconjunto de B, entonces
P(A) no puede ser m ayor que P(B). Por ejem plo, la probabilidad de sacar un corazón
de un baraja ordinaria de 52 cartas de juego no puede ser m ayor que la probabilidad de
sacar una carta roja. E n verdad, la probabilidad es com parada con \.
t e o r e m a 2.6 0 % P{A) S 1 para cualquier evento A.
Demostración. U sando el teorem a 2.5 y el hecho q ue 0 C A C S para
cualquier even to A en 5, tenem os
P(O) S P(A) S P(S)
Entonces, B ( 0 ) = 0 y P(S) = 1 nos lleva al resultado que
0 ^ P(A) ¿ 1 ▼
A veces nos referim os al tercer postulado de probabilidad com o la regla especial de
adición: es especial en el sentido que los eventos A ,, A2. A deben ser todos m utuam ente
excluyentes. Para dos eventos cualquiera A y B, existe la regla general de adición:
t e o r e m a 2.7
Si A y B son dos eventos en el espacio m uestral S, entonces
P(A U B) = P{A) + P(B) - p(a n B)
Demostración. Si asignam os las probabilidades a, b. y c a los eventos m u­
tuam ente excluyentes A C\ B, A C\ B' y A' C\ B com o en el diagram a de Venn de
la figura 2.9, encontram os que