Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 1.2: M étodos com binatorios 11
a b \c \d ab\d\c. a c \b \d a c \d \b
a d \b \c a d \c \b b c \a \d b c \d \a
b d \a \c b d \c \a c d \a \b c d \b \a
El núm ero de particiones para este ejem plo se representa con el sím bolo
4
2 , 1. 1/ = 12
donde el núm ero de la parte superior representa el núm ero total de objetos y los
núm eros de la parte inferior denotan el núm ero de objetos que entran en cada
subconjunto.
▲
Si no hubiéram os querido enum erar todas las posibilidades en el ejem plo precedente,
podríam os h aber argum entado que los dos objetos que entran en el prim er subf
4 \
co n ju n to se p u e d e n escoger de I I = 6 m aneras, el o b jeto que e n tra en el segundo
subconjunto p u ed e entonces elegirse de
= 2 m aneras y el objeto que en tra en el
tercer subconjunto puede entonces elegirse de
'1
= 1 m aneras. Así, por m edio del
teorem a 1.2, hay 6 • 2 • 1 = 12 particiones. Al generalizar este argum ento tenem os el siguiente
teorem a.
t e o r e m a 1.8 El n ú m e ro d e m a n e ra s e n q u e u n c o n ju n to d e n o b je to s d if e r e n ­
te s se p u e d e n d iv id ir o p a r tir e n k s u b c o n ju n to s d e n , o b je to s e n e l p rim e r s u b ­
c o n ju n to , n 2 o b je to s e n e l s e g u n d o s u b c o n ju n to
s u b c o n ju n to e s
y n k o b je to s e n e l P é sim o
Demostración.
Puesto que los n, objetos que entran en el prim er subconju
n to se pueden escoger de ^
^ m aneras, los n 2 objetos que entran en el segundo
subconjunto pueden entonces escogerse de ^
m aneras, los n objetos que
e n tra n en el te rc e r su b co n ju n to p u ed en en to n ces escogerse de /,!
m aneras y así sucesivam ente, resu lta por el teorem a 1.2 que el núm ero total de
particiones es