Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

162 Capítulo 4: Esperanza matemática
D e m anera correspondiente, si X es una variable aleatoria continua y f[x\y) es
el valor de la densidad de probabilidad condicional de X d ad o Y = y en x, la esp
eran za co n d icio n a l de u(X) dado Y = y es
E[u(X)\y] = í u(x)‘f[x\y) dx
J- oo
Expresiones sim ilares basadas en la distribución o densidad de probabilidad condicional
de Y d ado X = x definen la esperanza condicional de v( Y) dado X = x.
Si hacem os u(X) = X en la definición 4.10, obtenem os la m e d ia co n d icio n al de
la variable aleatoria X dado Y = y, la cual denotam os por
/i*1v = E{X\y)
D e m anera correspondiente, la varianza condicional de X dado Y = y es
<4, = E[(jr - mxJ'H
= E(X*\y) - ^
donde E{X2\y) está dada por la definición 4.10 con u(X) = X2. Al lector no le debe
ser difícil generalizar la definición 4.10 para esperanzas condicionales que im plican más
de dos variables.
EJEMPLO 4.20
Con respecto al ejem plo 3.12, encuentre la m edia condicional de X dado Y — 1.
Solución
Al usar los resultados obtenidos en el ejem plo 3.23, esto es. /(0 1 1) = *. / ( 1 11) = |
y / ( 2 11 ) = 0 , obtenem os
E(*|l) = 0-y + 1 - | + 2-0 = |
A
EJEMPLO 4.21
Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por
{\ (x + 2y) para 0 < x < l , 0 <y<l
3
0 en cualquier o tra parte
encuentre la m edia condicional y la varianza condicional de X dado Y = ¿ .
Solución
E n el ejem plo 3.24 m ostram os que para esas variables aleatorias la densidad condicional
de X d ado Y = y es