Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

42 Capítulo 2: Probabilidad
2 .5 A L G U N A S R E G L A S D E P R O B A B IL ID A D
B asados en los tre s postulados de probabilidad, podem os derivar m uchas otras reglas
que tienen aplicaciones im portantes. E n tre ellas, los cuatro teorem as siguientes son co n ­
secuencia inm ediata de los postulados.
t e o r e m a 2 J Si A y A ' son eventos com plem entarios en un espacio m uestra! S,
entonces
P(A') = 1 - P(A)
Demostración, En el segundo y tercer pasos de la prueba que sigue, usam
os la definición de co m p lem en to ,d e acuerdo a la cual A y A ’ son m utuam ente
ex d u y en tes y A U A' = S. Así. escribim os
1 = P(S) (p o r el postulado 2)
= P(AUA')
= P(A) + P(A') (p o r el postulado 3)
y de ahí resulta que P(A') = 1 — P{A).
▼
E n relación con la interpretación de frecuencia, este resultado im plica que si un
evento ocurre, digam os, 37% de las veces, entonces no ocurre 63% de las veces.
teo r em a 2.4 ^ ( 0 ) = 0 p ara cualquier espacio m uestral S.
Demostración. Puesto que S y 0 son m utuam ente exduyentes y S U 0 = S
de acuerdo con la definición del conjunto varío 0 , resulta que
P(S) = P(S U 0 )
= P(S) + P ( 0 ) (por el postulado 3)
y, por tanto, que P ( 0 ) = 0. ▼
Es im portante señalar que no resulta necesariam ente que si P(A) = 0 entonces
A = 0 . E n la práctica, a m enudo asignam os la probabilidad 0 a eventos que, en térm i­
nos coloquiales, n o sucederían en un m illón de años. Por ejem plo, hay el ejem plo clásico
que le asignam os una probabilidad de 0, al evento de un m ono con una m áquina de
escribir, escribirá L a República de Platón palabra por palabra sin un error. C om o vere-