Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .7: Estadísticas de orden 293
8 .6 8 U se un program a de com putadora para verificar los ocho elem entos de la tabla
V que corresponden a 21 grados de libertad.
8.69 U se un program a de com putadora para verificar los cinco valores de jf, 05 en la
tabla VI q ue corresponden a 7 y 6 a 10 grados de libertad.
8.70 Use un program a de com putadora para verificar los seis valores de ^ 0I en la tabla
VI que corresponden a 12 a 17 y 16 grados de libertad.
8 .7 E S T A D ÍS T IC A S D E O R D E N
C onsidere una m uestra aleatoria de tam año n de una población infinita que tiene una
densidad continua, y suponga que arreglam os los valores de X }, X 2, . . . , y X n de acuerd
o a su tam año. Si consideram os la m ás pequeña de las x com o un valor de la variable
aleatoria V,, el siguiente valor en tam año com o un valor de la variable aleatoria Y2, el
siguiente valor en tam año com o un valor de la variable aleatoria Y j,. . . , y el valor más
grande com o un valor de la variable aleatoria Y„, nos referim os a estas Y com o estadísticas
de orden. E n particular. Y, es la estadística de prim er orden. Y2 es la estadística
de segundo o rd en . Y3 es la estadística de tercer orden, y así sucesivam ente. (E stam os
lim itando este exam en a poblaciones infinitas con densidades continuas así que hay una
probabilidad de cero que dos valores cualquiera de las x serán iguales.)
P ara ser m ás explícitos, considere el caso donde n — 2 y la relación en tre los valores
del las A" y las Y es
= x \ y h = *2 cu a n d o .t, < x 2
y i = x 2 Y Y2 = cu a n d o x 2 <
D e m anera sim ilar, para n = 3 la relación en tre los valores de las variables aleatorias
respectivas es
y \ = * 1. >'2 = * 2* y Y3 = c u a n d o X, < X 2 < X y
y \ = * 1. }'2 — x 3> y y 3 - * 2. cu an d o JC, < Xy < x 2
y 1 = * 3. y 2 = * 2. y 73 = * i. cu a n d o X y < x 2 < X y
D erivem os ah o ra una fórm ula para la densidad de probabilidad de la resim a estadística
de orden p a ra r = 1 , 2 n.
t e o r e m a 8.16 Para m uestras aleatorias de tam año n de una población infinita
que tiene el valor f[ x ) en x, la densidad de probabilidad de la résim a estadística
de orden Yr está dada por
r - 1
para — oo < yf < oo.