Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección A .2 : Sumas especiales 561
«■ ñ ^ , = ( n ^ ) ( n > , )
7. In f j x¡ = ¿ ln x¡
1=1 <=i
E n la estadística tam bién se usan am pliam ente sum as dobles, sum as triples
si aplicam os repetidam ente la definición de 2 dada arriba, tenem os, por ejem plo
y
¿ = 2 (*« + x(í + " ■ + x « )
i- l ; = 1 i=l
= ( X U + X l2 + " • + * i„ )
+ (-*21 + -*22 + + *2n)
+ (-*ml + X m2 + — + X m n )
A dvierta que cuando las xtj se acom odan así en un arreglo rectangular, el prim er subíndice
denota el renglón al cual pertenece el elem ento en particular, y el segundo subíndice denota
la columna.
C uando trabajam os con sum as dobles, el siguiente teorem a es de especial interés;
es consecuencia inm ediata de la expansión polinom ial de
(x, + x2 + ••• + x „)2
T E O R E M A A.2
donde
( i * , ) ' - 2 * . !
V i=l / i=l
2 2 * . * / = 2 2 x ‘x ¡
i<¡ <=i >—i+i
A .2 SUMAS ESPECIALES
E n la teoría de la estadística no param étrica, particularm ente cuando tratam os con sum
as de rangos, frecuentem ente necesitam os expresiones para sum as de potencias de
los prim eros n en tero s positivos, esto es, expresiones para
S{n,r) = 1 ' + 2 ' + 3r + — + nr