Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

280 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo
usam os x 2 Para los valores de las variables aleatorias que tienen distribuciones ji cuad
rad a, pero nos abstendrem os de d en o tar las variables aleatorias correspondientes con
X 2, donde X es la letra m ayúscula griega ji. E sto evita ten e r q ue reiterar e n cada caso
si X es una variable aleatoria con valores x o una variable aleatoria con valores x -
R evisem os algunos de los resultados de la sección 6.3, una variable aleatoria X
tiene la distribución ji cuadrada con v grados de libertad si su densidad de probabilid
ad está dada por
ñ * ) =
1 a zi
* * x/2 p a r a * > 0
2¥f2T(<v/ 2 ) x
0 e n c u a lq u ie r o tra parte
La m edia y la varianza de la distribución ji cuadrada con v grados de libertad son v y
2v, y su función generatriz de m om entos está dada por
M x {¡) = ( 1 -
L a distribución ji cuad rad a tiene varias p ro p ied ad es m atem áticas im portantes,
que se dan en los teorem as 8.7 a 8.10. Prim ero, enunciem os form alm ente el resultado
del ejem plo 7.9, al cual nos referim os anteriorm ente
t e o r e m a 8.7 Si X tiene la distribución norm al están d ar, entonces X 2 tiene la
distribución ji cuadrada con v = 1 grados de libertad.
M ás generalm ente, dem ostrem os que
t e o r e m a 8 ^ Si X x, X 2, . . . , X n son variables aleatorias independientes que tienen
distribuciones norm al estándar, entonces
y = i : * ?
í-1
tiene la distribución ji cuadrada con v = n grados de libertad.
D em ostración. A l u sa r la función g en eratriz de m om entos d a d a arriba
con v = 1 y el teorem a 8.7, encontram os que
M M t ) = (1 - 2 ,) ~ 2
y se sigue, p o r el teorem a 7.3, que
M r ( 0 = I I d - 2 0 2 = ( 1 - 2 0
i- i
n
2
Esta función generatriz de m om entos se identifica en seguida com o la de la distribución
ji cuadrada con v = n grados de libertad. ▼