Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 10.7: El m étodo de m om entos 343
10.44 P ara m ostrar que un estim ador puede ser consistente sin ser insesgado o aun insesgado
asintóticam ente, considere el siguiente procedim iento de estim ación:
p ara estim ar la m edia de una población con la varianza finita «x2, prim ero to ­
m am os una m uestra aleatoria de tam año n. D espués aleatoriam ente sacam os
una d e n p a p eletas num erad as de 1 a n, y si el núm ero q ue sacam os es 2. 3 ,...
o n . usam os com o nuestro estim ador la m edia de la m uestra aleatoria; de lo
contrario, usam os el estim ado n2. D em uestre que este procedim iento de estim
ación es
(a)
consistente;
(b ) ni insesgado ni asintóticam ente insesgado.
10.45 Si Xt, X2 X„ constituyen una m uestra aleatoria de tam año n de una población
exponencial, dem uestre que X es un estim ador suficiente del p arám etro 0.
10.46 Si X ] y X 2 son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones bi-
- r Af?
norntales con los parám etros 0 y n, y 6 y n2, m uestre q u e ^ es un estim
ador suficiente de 0.
X + 2X-
10.47 E n resp ecto al ejercicio 10.46, es — — un estim ador suficiente de 02
n, + 2 n 2
10.48 D espués de referirse al ejem plo 10.4, ¿es la estadística de «ésim o ord en. Y„, un
estim ador suficiente del p arám etro /3?
1 0 .4 9 Si X xy X2 constituyen una m uestra aleatoria de tam año n = 2 de una p o blación
de Poisson. m uestre que la m edia de la m uestra es un estim ador suficiente
del p arám etro A.
10.50 Si X x, X 2 y A \ constituyen una m uestra aleatoria de tam año n = 3 de una p o ­
blación de B ernoulli, m uestre q ue Y = Xx + 2X2 + Xy no es un estim ador suficiente
de 0. (Sugerencia: considere los valores especiales de A ',, X 2 y Af3.)
10.51 Si A'1, X2,..., Xn constituyen un m uestra aleatoria de tam año n de una población
geom étrica, m uestre que Y = X x + X2 + ••• + X„ es un estim ador suficiente
del p arám etro 0.
1 0 .5 2 M uestre que el estim ador del ejercicio 10.5 es un estim ador suficiente de la varianza
de u n a población norm al con la m edia conocida /x.
10.7 EL M ÉTO D O DE M OM ENTOS
C om o hem os visto en este capítulo, puede h aber m uchos estim adores d iferen tes del
m ism o parám etro d e una población. P or consiguiente, parecería deseable ten e r algún
m étodo general, o m étodos, que pro d u jeran estim adores con tantas propiedades deseables
com o fuera posible. E n esta sección y en la sección 10.8 presentarem os dos m éto ­
dos tales, el método de momentos, q u e es históricam ente uno d e los m étodos más
antiguos y el método de máxima verosimilitud. A dicionalm ente, la estimación Bayesia-
na será tra tad a brevem ente en la sección 10.9 y otro m étodo, el método de los cuadrados
mínimos, será considerado en el capítulo 14.