Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5 .6: La distribución hipergeom étrica 185
M _ ÍN - 1 \ _M _ ÍN - l \ _ nM
N ^ \ m ) “ 1 / *V
A fin de o b ten er la fórm ula para a 2, procedem os com o en la dem ostración
del teo re m a 5.2. evaluam os p rim ero E [X(X - 1)] y entonces usam os el hecho
que E(X2) = E[X(X — 1)] + E(X). Le dejam os al lector dem ostrar que
en el ejercicio 5.44, obtenem os así
F\X(X - ni -
E[X(X 1 )1 “ N (N -\)
2 = M(M - 1 )n(n ~ 1) nM ín M \2
" N{N - 1) N V N )
_ nM(N - M)(N - n)
N 2(N - 1)
T
P uesto q ue la función generatriz de m om entos de la distribución hipergeom étrica
es bastante com plicada, no la tratarem os en este libro. Sin em bargo, se pueden en ­
contrar los detalles en el libro de M. G . K endall y A. Stuart que se enum era en tre las
referencias al final del capítulo 3.
C uando A' es grande y n es relativam ente pequeña com parada con N (la regla
em pírica es que n no debe exceder de 5 por ciento de N), no hay m ucha diferencia en ­
tre m uestrear con reem plazo y m uestrear sin reem plazo y se puede usar la fórm ula para
la distribución binom ial con los parám etros n y 8 = ~ para aproxim ar las probabilidades
hipergeom étricas.
EJEM PLO 5.7
E n tre los 120 solicitantes para un trabajo, sólo 80 son realm ente aptos. Si cinco de los
solicitantes se seleccionan al azar para una entrevista m ás extensa, encuentre la probabilidad
de que sólo dos de los cinco serán aptos para el trabajo, para ello use
(a)
Solución
la fórm ula para la distribución hipergeom étrica;
(b) la fórm ula para la distribución binom ial con 0 = com o una aproxim ación.
(a)
Al sustituir x = 2, n = 5, N = 120 y M = 80 en la fórm ula de la distribución
hipergeom étrica, obtenem os
h ( 2; 5. 120, 80)
= 0 . 1 6 4
redondead o a tres decim ales;