Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 12.5: La función de potencia de una prueba 399
podrían usarse p a ra probar un hipótesis nula dada contra una alternativa dada. Incid
entalm ente, si hubiésem os graficado en la figura 1 2 .2 las probabilidades de aceptar H0
(en vez de las de rechazar H0), hubiésem os obtenido la curva característica de operación,
o sim plem ente la curva O C , de la región crítica dada. E n otras palabras, los valores
de la función característica de o peración, usados principalm ente en aplicaciones
industríales, están dados por 1 — tt(8 ).
E n la página 390 indicam os que en la teoría de N eym an-Pearson de prueba de hipótesis
m antenem os fija a , la probabilidad de un e rro r de tipo I, y esto requiere q ue la
hipótesis nula H0 sea una hipótesis sim ple, digam os. 0 = 0O. C om o resultado, la función
de potencia de cualquier prueba de esta hipótesis nula pasará por el p u n to (0O, a ) ,
el único p u n to en el cual el valor de una función de potencia es la probabilidad de
com eter un error. E sto facilita la com paración de las funciones de potencia de varias regiones
críticas, todas las cuales están diseñadas para probar la hipótesis nula simple 0 = 0O
c o n tra una alternativa com puesta, digam os, la hipótesis alternativa 8 & d0. P ara ilustrar,
considere la figura 12.3, que da las funciones de potencia de tres regiones críticas
diferentes, o criterios de prueba, diseñadas para este propósito. Puesto que p ara cada
valor de 6 , excepto 80, los valores de las funciones de potencia son las probabilidades
de tom ar las decisiones correctas, es deseable tenerlas tan cercanas a 1 com o sea posible.
Así, se puede ver por inspección que la región crítica cuya función de potencia está
dada p o r la curva punteada de la figura 12.3 es preferible a la región crítica cuya
función de potencia está d ada por la curva p u nteada. La probabilidad de no com eter
un e rro r de tipo II con la prim era de estas regiones críticas siem pre excede al de la segunda.
y decim os que la prim era región crítica es uniformemente mas potente q u e la
segunda; tam bién se dice que la segunda región crítica es inadmisible.
La m ism a distinción clara no es posible si intentam os com parar las regiones críticas
cuyas funciones d e potencia estén dadas por las curvas p unteadas y sólidas de la
figura 12.3; en este caso es preferible la prim era para 8 < 80, m ientras que la o tra es
p referible para 6 > 80. E n situaciones com o é sta necesitam os criterio s adicionales
tr(0)
Figura 12.3
Funciones de potencia.