Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

136 Capítulo 4: Esperanza matemática
Solución
Puesto que (ax + b ) n = ¿ j í 0-*)” 'b ‘ de acuerdo al teorem a 1.9, se sigue que
E[{aX + b)n] =
= ¿ ( " V - ' W ' ) A
,=o VT/
El concepto de una esperanza m atem ática se puede am pliar fácilm ente a situaciones
que im plican m ás de una variable aleatoria. Por ejem plo, si Z es la variable aleato ­
ria cuyos valores están relacionados con los de las dos variables aleatorias X y Y por
m edio de la ecuación z = g(x, .y), se puede dem ostrar que
t e o r e m a 4 .4 Si A' y K son variables aleatorias discretas y f(x, y) es el valor de
su distribución de probabilidad conjunta en (*, y), el valor esperado de g(X, Y) es
* y
D e m anera correspondiente, si X y Y son variables aleatorias continuas y f(x, y)
es el valor de su densidad de probabilidad conjunta en (jc, y ), el valor esperado
d e g(X, Y) es
E[g(X, Y)] =
La generalización de este teorem a a funciones de cualquier núm ero finito de variables
aleatorias es directa
E JEM P LO 4.8
Con respecto al ejem plo 3.12, encuentre el valor esperado de g(A \ Y) = X + Y.
Solución
2 2
E(X + Y) = 2
«■*0 y- 0
+ y ) - / ( x.y)
= (0 + 0) i + (0 + 1 ).| + (0 + 2 ) . ¿ + (1 + 0) - J
+ (l + l) - i + ( 2 + 0)-^
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