Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

146 Capítulo 4: Esperanza matemática
p or el teorem a d e C hebyshev es solam ente un lím ite inferior; si la probabilidad de que
u na variable a le a to ria dada asum a un valor d e n tro de k desviaciones está n d a r d e la
m edia sea realm ente m ayor que 1 — y, si es así, no podem os decir por cuánto, p e­
ro el teorem a de C hebyshev nos asegura que esta probabilidad no puede ser m enor que
1 — p r . Sólo cuando se conoce la distribución de una variable aleatoria podem os calcular
la probabilidad exacta.
E JEM P LO 4.12
Si la densidad de probabilidad de X está dada por
í 630x4( l — x )4 p a ra 0 < x < 1
\ 0 en cu a lq u ier o tra p a rte
encuentre la probabilidad de que asum irá un valor d e n tro de dos desviaciones están ­
d a r de la m edia y com pare esta probabilidad con el lím ite inferior proporcionado por
el teorem a de Chebyshev.
Solución
La integ ración directa nos m uestra que /x = 5 y tr2 = ¿ , de m an era que
(t = V l / 4 4 o aproxim adam ente 0.15. Así, la probabilidad de que X asum irá un
valor d e n tro de dos desviaciones estándar de la m edia es la probabilidad de que
asum irá un valor en tre 0 .2 0 y 0.80. esto es,
. 0 80
P (0 .2 0 < X < 0.80) = / 630x4( 1 - x ) 4 dx
J 0.20
= 0.96
O bserve que la aseveración “la probabilidad es 0.96” es una aseveración m ás firm
e que "la probabilidad es al m enos 0.75”, la que es proporcionada p o r el te o re ­
m a de Chebyshev. ▲
4.5 FUNCIONES GENERATRICES DE M OM ENTOS
A u n q u e los m om entos de la m ayoría de las distribuciones se p u ed en d e te rm in a r d i­
rectam ente al evaluar las integrales o sum as necesarias, un p rocedim iento alternativo
algunas veces proporciona sim plificaciones considerables. E sta técnica utiliza las fu n d o ­
nes generatrices d e m om entos.
d efin ic ió n 4.6 La función generatriz de m om entos de una variable aleatoria X ,
donde existe, está dada p or