Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

484 Capítulo 14: Regresión y correlación
14.7 R E G R E S IÓ N L IN E A L M Ú L T IP L E (N O T A C I Ó N M A T R I C I A L )t
El m odelo que estam os usando en la regresión lineal m últiple se presta de m anera única
a un tratam iento unificado en notación m atricial. Esta notación hace posible e n u n ­
ciar resultados generales en form a com pacta y utilizar m uchos resultados de la teoría
m atricial con gran ventaja. C om o es costum bre, d enotarem os las m atrices con letras
m ayúsculas en tipo negritas.
P odríam os introducir el enfoque m atricial al expresar la sum a de los cuadrados q
(que m inim izam os en la sección an terio r al diferenciar parcialm ente con respecto a las
(3) en notación m atricial y arrancar de ahí, p e ro dejam os esto al lector en el ejercicio
14.65: em pecem os aquí con las ecuaciones norm ales en la página 482.
Para expresar las ecuaciones norm ales en notación m atricial, definam os las tres
m atrices siguientes:
La prim era X es una m atriz de n X (k + 1) que consiste esencialm ente de los valores
dados de las x . donde se añade una colum na 1 para d ar cabida a los térm inos constan
tes. Y es u na m atriz de n X 1 (o vector colum na) que consiste en los valores
observados de Y , y B es una m atriz (k 4- 1) X 1 (o vector colum na) que consiste en
las estim aciones d e m ínim os cuadrados de los coeficientes de regresión.
Al usar estas m atrices, podem os ahora escribir la siguiente solución sim bólica de
las ecuaciones norm ales en la página 482.
t e o r e m a 14.7 Las estim aciones de m ínim os cuadrados para los coeficientes de
regresión m últiple están dadas por
B = ( X 'X r 'X 'Y
donde X ' es la transpuesta de X y (X ’X )-1 es la inversa de X 'X.
t Para esta sección se supone que el lector está familiarizado con el material normalmente cubierto
en un prim er curso de álgebra matricial. Puesto que la notación matricial no se usa en ninguna
otra parte de este libro, esta sección se puede om itir sin pérdida de continuidad.