Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

254 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
(b ) A l sacar z p o r integración de m an era se p arad a p ara y á 0, 0 < y < 1,
1 < y < 2, y y ^ 2, obtenem os
Í 0
para y á 0
h(y) =
í 1 d z= y
Jo
í 1 dz = 2 -
Jy-l
0
p ara 0 < y < 1
para 1 < y < 2
para y é 2
y p ara hacer continua la función de densidad, hacem os /i( 1) = 1. A sí hem os
dem ostrado que la sum a de las variables aleatorias dadas tiene la densidad
de probabilidad triangular, cuya gráfica se m uestra en la figura 7.8. ▲
h{y)
Figura 7.8
Densidad d e probabilidad triangular.
H asta ah o ra aquí sólo hem os considerado funciones de dos variables aleatorias,
pero el m étodo basado en el teo rem a 7.2 se puede generalizar fácilm ente a funciones
de tres o m ás variables aleato rias. P or ejem plo, si nos d an la densidad de p ro b ab ilid
a d co n ju n ta de tres variables aleato rias A",, X2 y X3, y q u erem o s en c o n tra r la d e n ­
sid ad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias Y, = M i(A,, X2, X3), Y2 =
u2(X, , X2, Xy) y Yy = u3(X¡,X2, X3), el enfoque general es el m ism o, pero el jacobiano
es ahora el d eterm in an te de 3 X 3
dx, dx, dx,
dy i dy 2 dyi
dx2 dX2 dX2
dy i dy2 dy 3
Ar, dx3 dX3
dy i dy2 dy 3