Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8.4: La distribución ji cuadrada 279
8.29 Se tom a u na m uestra aleatoria de tam año 100 de u n a población norm al con
o = 25. ¿C uál es la probabilidad de que la m edia de la m uestra diferirá de la
m edia de la población por 3 o m ás en cualquier dirección?
8 J O Se tom an m uestras aleatorias independientes de tam año 400 de cada una de dos
poblaciones q ue tienen m edias iguales y desviaciones e stá n d a r o t = 2 0 y
<r2 = 30. Al usar el teorem a de Chebyshev y el resultado del ejercicio 8.2, ¿qué
podem os afirm ar con una probabilidad de al m enos 0.99 sobre el valor que obtendrem
os para X t — AV? (P or “independiente" querem os decir que las m uestras
satisfacen las condiciones del ejercicio 8 .2 .)
831 Suponga que las dos poblaciones del ejercicio 8.30 son norm ales y use el resultad
o del ejercicio 8.3 para encontrar k tal que
P ( - k < X ¡ - X 2 < k ) = 0.99
8 3 2 Se tom an m uestras aleatorias in d ependientes tam año n , = 30 y n 2 = 50 de
dos poblaciones norm ales que tienen las m edias ¿i, = 78 y n 2 = 75 y las varianzas
a \ = 150 y <7 2 = 200. U se los resultados del ejercicio 8.3 para encontrar
la probabilidad de que la m edia de la prim era m uestra excederá la de la
segunda m uestra por al m enos 4.8.
8 3 3 La proporción real de fam ilias que en cierta ciudad son dueñas de sus casas, en
vez de rentarlas, es 0.70. Si se entrevistan aleatoriam ente 84 fam ilias en esta ciudad
y sus respuestas a la pregunta de si son dueñas de sus casas se consideran
com o valores de variables aleatorias independientes que tienen distribuciones
de Bernoulli idénticas con el p arám etro 0 = 0.70, ¿con qué probabilidad p o d e­
m os afirm ar que el valor que obtenem os para la m uestra de la proporción 0
caerá en tre 0.64 y 0.76, use el resultado del ejercicio 8.4 y
(a)
(b)
el teorem a de Chebyshev;
el teorem a del lím ite central?
8.34 La proporción real de hom bres que favorecen cierta propuesta de im puestos es
0.40 y la proporción correspondiente de m ujeres es 0.25; aleatoriam ente se en ­
trevistan /i] = 500 hom bres y n 2 = 400 m u je res y sus respuestas individuales
se consideran com o los valores de variables aleatorias independientes que tie ­
nen distribuciones de B ernoulli con los respectivos p arám etro s 0, = 0.40 y
02 = 0.25. ¿Q ué podem os afirm ar, de acuerdo al teorem a de Chebyshev, con
una pro b ab ilid ad de al m enos 0.9375 sobre el valor que o b ten d rem o s p ara
0 , — 0 2. la diferencia en tre las dos m uestras de proporciones de respuestas
favorables? Use el resultado del ejercicio 8.5.
8 .4 L A D IS T R IB U C IÓ N JI C U A D R A D A
E n el ejem plo 7.9 dem ostram os que si X tiene la distribución norm al estándar, en to n ­
ces X 2 tiene la distribución gam m a especial, a la cual nos referim os com o distribución
ji cuadrada, y esto explica el papel im portante que la distribución ji cuadrada tiene en
problem as de m u estreo d e poblaciones norm ales. La distribución ji cu adrada a m enudo
se den o ta com o “distribución
donde x es la letra m inúscula griega ji. T am bién