Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

232 Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales
Los resultados correspondientes para la densidad condicional de X d ad o Y = y siguen
p or sim etría. ▼
La distribución norm al bivariada tiene m uchas propiedades im portantes, algunas
estadísticas y algunas p uram ente m atem áticas. E n tre las prim eras, está la siguiente p ro ­
piedad, que se ped irá al lector la dem uestre en el ejercicio 6.74.
t e o r e m a 6.10 Si dos variables aleatorias tienen una distribución norm al bivariada,
son independientes si y sólo si p = 0 .
E n relación con esto, si p = 0, se dice que las variables aleatorias no están correlacionadas.
T am bién, hem os m ostrado q ue para dos variables aleatorias que tienen una distribución
norm al bivariada las dos densidades m arginales son norm ales, pero la recíproca
n o es necesariam ente verdad. E n otras palabras, las distribuciones m arginales pueden
ser norm ales am bas sin que la distribución conjunta sea una distribución norm al bivariada.
Por ejem plo, si la densidad bivariada de X y Y está dada por
2/(at, y ) d e n tro de los cuadros 2 y 4 de la figura 6.10
0 d e n tro de los cuadros 1 y 2 de la figura 6 .1 0
f[ x , y ) en cualquier o tra parte
donde x , y ) es el valor de la densidad norm al bivariada con /i, = 0 , p .2 = 0 y p = 0
en (x. y ), es fácil ver que las densidades m arginales de X y Y son norm ales au n cuand
o su densidad conjunta no es una distribución norm al bivariada.
Se obtienen m uchas propiedades interesantes de la densidad norm al bivariada al
estudiar la superficie normal bivariada. que se m uestra en la figura 6 .1 1 y cuya ecuación
es z — f{ x , y ) , donde f[x , y ) es el valor de la densidad norm al bivariada en (x, y).
C om o se pedirá al lector que verifique en los ejercicios q ue siguen, la densidad norm al
y
2
1
3 4
F ig u ra 6 .1 0
Espacio muestral para la densid
a d bivariada dada p o r f*(x, y ).
F igura 6.11
Superficie normal bivariada.