Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 11.2: La estimación de medias 361
ria, hay varios intervalos de confianza para ¿i, todos tienen el m ism o grado de confianza
1 — a. C om o fue el caso en la estim ación puntual, los m étodos de estim ación de intervalo
se juzgan p or sus diversas propiedades estadísticas. Por ejem plo, una propiedad
deseable es q ue la longitud de un intervalo de confianza de ( l — a ) 1 0 0 % sea tan co r­
ta com o sea posible: otra propiedad deseable es q ue la longitud esperada, £ ( © 2 — © i)
sea tan pequeña com o sea posible.
11.2 L A E S T IM A C IÓ N D E M E D IA S
Para ilustrar cóm o se puede evaluar el tam año posible de los errores en la estim ación
puntual, supongam os que la m edia de una m uestra aleatoria se va a usar para estim ar
la m edia de una población norm al con varianza conocida ir2. Por el teorem a 8.4, la distribución
m uestral de X para m uestras aleatorias de tam año n de una población n orm
al con m edia /x y varianza <t2 es una distribución norm al con
2 <r2
Mi = M y <r¡ =
Así, podem os escribir
donde
P ( |Z | < za,o) = l - «
z =
x ~ n
(T/ V n
y z a¡ 2 es tal que la integral de la densidad norm al estándar de za/2 a oo es igual a a /2
(véase tam bién el ejercicio 6.62). Se sigue que
= 1 - a
o, en otras palabras, que
t e o r e m a 11.1 Si X , la m edia de una m uestra aleatoria de tam año n de una población
norm al con la varianza conocida a 2, se va a usar com o un estim ador de
la m edia de la población, la pro b ab ilid ad es 1 — a de q ue el e rro r será m enor
cr
EJEM P LO 11.1
U n equipo de expertos en eficiencia intenta usar la m edia de una m uestra aleatoria de
tam año n = 150 para estim ar el prom edio de la aptitud m ecánica de los trabajadores
de una línea de ensam ble en u na industria grande (según la m ide cierta pru eb a están-