Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

450 Capítulo 14: Regresión y correlación
con cantidades com o M z u l a m edia de Z p ara valores dados de X y Y, p Xtj ,,.,,.,,. la
m edia de X 4 p ara valores dados de X x, X 2 y X 3, y así sucesivam ente.
Si /(.r. y ) es el valor de la densidad conjunta de dos variables aleatorias A" y y en
(x, y ) , el problem a de regresión bivariada es sim plem ente determ inar la densidad condicional
de Y d ado X = x y después evaluar la integral
Mvu = E{Y\x) = J y w (y \x )d y
com o se bosquejó en la sección 4.8. La ecuación resultante se llam a ecuación d e reg resión
de Y sobre X. A lternativam ente, tal vez nos interese la ecuación de regresión
OO
= £{X\y) = J x ' f{x\y) dx
E n el caso discreto, cuando tratam os con distribuciones de probabilidad en vez de d e n ­
sidades de probabilidad, las integrales en las dos ecuaciones de regresión dadas arriba
sim plem ente se reem plaza con sumas.
C uando n o conocem os la densidad de probabilidad conjunta o distribución de las
dos variables aleatorias, o al m enos no todos sus parám etros, la determ inación de nyu
o nx\y se vuelve un problem a de estim ación basado en dato s m uéstrales; éste es un p ro ­
blem a totalm ente diferente, que exam inarem os en las secciones 14.3 y 14.4.
EJEM PLO 14.1
D adas las dos variables aleatorias X y Y que tienen la densidad conjunta
f a s *
■ (
r
,~4\ +y) p a ra x > o y y > 0
en cu a lq u ie r o tra p a rte
e ncuentre la ecuación de regresión de Y sobre X y bosqueje la curva de regresión
Solución
Al elim inar y p o r integración, encontram os que la densidad m arginal de X está
dada p o r
g(x)
Í e * p a ra x > 0
0 en c u a lq u ier o tra p a rte
y por ta n to la densidad condicional de Y dado X = x está dada por
, , , 7\x,y) x -e ~ « '+r>
w(yU) = , v = — — = x ’e
g{x) e
p ara y > 0 y w ;(y|x) = 0 en cualquier o tra p arte, que reconocem os com o una
densidad exponencial con 6 = j . P or tan to , al evaluar
Mn» = / y x - e ^ d y
Jo
o al referim o s al corolario 1 del teorem a 6.3, encontram os que la ecuación de re ­
gresión d e y sobre A" está dada por: