Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .8: Esperanza condicional 161
P uesto que cov(A 'i , X¡) = 0 cuando X, y X¡ son independientes, se sigue inm e­
diatam ente que
COROI.ARIO Si las variables aleatorias X x, X2 X„ son independientes Y , —
n
n
2 a,X¡ y Y2 = ^ b .X ,, entonces
i=i
i=i
cov(y,, Y2) = -v a r(^ )
1=1
E JEM P LO 4.19
Si las variables aleatorias X, Y y Z tienen las m edias fxx = 3, n Y = 5 y n z = 2. las varianzas
tz* = 8 , <zy = 12 y = 18, y cov(A \ V) = 1, cov(A \ Z ) = - 3 y
c o v (y , Z ) = 2. en cu en tre la covarianza de
Solución
U = X + 4Y + 2Z y V = 3AT - y - Z
P or el teo rem a 4.15, obtenem os
c o v (U, V) = co\{X + 4Y + 2Z.3X - Y - Z )
= 3 v a r ( * ) - 4 v a r ( y ) - 2 v a r(Z ) + 11 c o v ( * , y )
+ 5 cov(AT, Z ) — 6 c o v (y , Z )
= 3-8-4 -12 - 2 - 1 8 + 1 1 -1 + 5 ( —3 ) - 6 - 2
= - 7 6 ▲
4 .8 ESPERANZA CONDICIONAL
E n la sección 3.7 obtuvim os las probabilidades condicionales al sum ar los valores de las
distribuciones de probabilidades condicionales o al integrar los valores de las densidades
de probabilidades condicionales. Las esperanzas condicionales de variables aleatorias se
definen de la m ism a m anera en térm inos de sus distribuciones condicionales.
d e f in ic ió n 4.10 Si X es u n a v ariab le a le a to ria d iscre ta y f(x\y) es e l v alo r d e la
d istrib u c ió n d e p ro b a b ilid a d c o n d icio n a l d e X d a d o Y = y e n x, la esperanza
condicional d e ti(A ') d a d o Y = y es
E[u(X)\y] = 2 > ( * ) ■/(*!>)