Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

272 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo
de acuerdo al teorem a 6 .6 , obtenem os
M g ( t) =
Esta función generatriz de m om entos se ve en seguida que es la de una distribución
norm al con la m edia ^ i y l a varianza <r2/ n , y para com pletar la dem ostración del
teorem a 8.4 sólo tenem os que referim os a los dos teorem as de la página 224. ▼
8.3 LA DISTRIBUCION DE LA M EDIA: POBLACIONES FINITAS
Si un experim ento consiste en seleccionar uno o m ás valores de un conjunto finito de
núm eros { c,, c2, . . . , cN}, este conjunto se conoce com o población finita de tamaño N.
E n la definición que sigue se supondrá que estam os m uestreando sin reem plazo de una
población finita d e tam año N.
d e f in ic ió n 8 3 Si A', es el prim er valor sacado de una población finita de ta ­
m año N , X 2 e s el segundo valor sa c a d o ,..., X„ es el nésim o valor sacado, y la distribución
d e probabilidad conjunta de estas n variables aleatorias está dada por
A * t,X 2 = n { N - 1 )- ... - { N - n + 1)
para cada «tupio ordenado de valores de estas variables aleatorias, entonces se dice
que X ¡ , X 2 y X„ constituyen una m u estra aleato ria de la población finita dada.
C om o en la definición 8.1, la m uestra aleatoria es un conjunto de variables aleatorias,
pero, aquí u na vez m ás, tam bién es com ún aplicar el térm ino “m uestra aleatoria” a los
valores de las variables aleatorias, esto es, a los núm eros reales extraídos.
D e la distribución de probabilidad conjunta de la definición 8.3, se sigue que la
probabilidad de cada subconjunto de n de estos N elem entos de la población finita (sin
im portar el o rd en en el cual se saquen los valores) es
n \ 1
N ( N ~ 1)* ... * ( N - n + 1)
A m enudo esto se d a com o una definición alternativa o com o un criterio para la selección
de una m uestra aleatoria de tam año n de una población finita de tam año N: cada
una de las ( 1 muestras posibles debe tener la m ism a probabilidad.
O
C )