Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .3: La distribución de la media: poblaciones finitas 273
T am bién se sigue de la definición 8.3 de la distribución de probabilidad conjunta
q ue la distribución m arginal de X , está dada por
f i x r) = p a ra x r = c , , c 2 cN
para r = 1 , 2 n , y nos referim os a la m edia y la varianza de esta distribución uniform
e discreta com o la m edia y la varianza de la población finita. P or consiguiente.
Finalm ente, d e la definición 8.3 de la distribución de probabilidad conjunta se sigue
q u e la distribución m arginal conjunta de dos variables aleato rias cualesquiera
A 'i. X 2, . . . , X„ está d a d a p o r
S (x " x ') = N ( N _ j )
para cada p ar ordenado de elem entos de la población finita. Así, podem os dem ostrar que
t e o r e m a & 5 Si X , y X , son las résima y el sésima variables aleatorias de una muestra
aleatoria de tam año rt sacada de una población finita { c l , c 2 cs }, entonces
c o v ( * „ X ,) =
Dem ostración. D e acuerdo con la definición 4.9
m v ( X „ X t ) = | | j j í r , - M)(c, - r í
>+>
N { N - 1) ¡
\
N
2 (c, - M)
/- 1
1*1
N
N
y puesto que 2 (c¡ “ a ) = 2 ( c/ ~ **) “ (c, ~ /x) = - ( c , - fi) , obtenem os
y=t
í+i