Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 2.5: Algunas reglas de probabilidad 45
Al resolver para P (B D T), obtenem os
P {B fl T ) = 0.23 + 0.24 - 0.38 = 0.09
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A l usar repetidam ente la fórm ula del teorem a 2.7, podem os generalizar esta re ­
gla de adición de m anera que se aplique a cualquier núm ero de eventos. Por ejem plo,
para tres eventos obtenem os
t e o r e m a 2 .8 Si A . B y C son tres eventos cualquiera en el espacio m uestral 5 ,
entonces
P(AU BUC) = P(A) + P(B) + P{C) - P{A C B) — P(A O C)
- p { B n c ) + p(a r b h c )
D em ostración. A l escribir A U B U C com o A U (B U C) y al aplicar la
fórm ula del teorem a 2.7 dos veces, una vez para P[A U(fiUC)]y una vez para
P(BU C), obtenem os
P(AUBUC) = P[AU(0UC)]
= P(A) + P(B U C) - P[A H(B U C)]
= P{A) + P(B) + P(C) - P(B H C)
- p[a n (suc)]
Entonces, usam os la ley distributiva que se pidió al lector que verificara en el inciso
(b) del ejercicio 2.1, encontram os que
p[a n (b u c)] = p[(a n B) u (a n c)]
y por tanto que
= p(a d b ) + p(a n c) - p[(a n B) n {a n c ) ]
= p(a n B) + p(a n c ) - P{Ar\ b h c )
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A D B) - P{A D C)
- P ( B n q + p (/in B n c) ▼
(E n el ejercicio 2.30 se pedirá al lector que dé una dem ostración alternativa de
este teorem a, basado en el m étodo usado en el texto p ara dem ostrar el teorem a 2.7.)
EJEM PLO 2.14
Si una persona acude con su dentista, supongam os que la probabilidad de que le lim ­
pie la dentadura es 0.44, la probabilidad de que le tape una caries es 0.24, la probabilidad
de q ue se le extraiga un diente es 0 .2 1, la probabilidad de que se le lim pie la
dentadura y le tap e una caries es 0.08, la probabilidad de que le lim pie la d en tad u ra y