Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5.8: La distribución m ultinom ial 199
x2 resultados de la segunda c la s e ,... y xk resultados de la Pésim a clase en un orden específico
es 0-}’ ‘ (ti1 • ... -(¡I*. Para ten e r la probabilidad co rresp o n d ien te p ara todos
esos resultados d e cada clase en cualquier orden, tendrem os que m ultiplicar la p ro b a­
bilidad para cualquier orden específico por
( " ) = --------------
\Xi,x2 xkJ X,!'X2!’ ...'Xft!
de acuerdo al teorem a 1.8 .
d e fin ic ió n 5.8
Las variables aleatorias A ',. X2,..., X„ tienen una d istrib u ció n
m u ltin o m ial y se conocen com o variables aleatorias m ultinom iales si y sólo si su
distribución d e probabilidad conjunta está dada por
f ( x x, x2,..., x*; n , 0X, 02...., 0*) —( V 0*il *02J • ...
\ X ] , A . 2 y • • • 9 /
k
k
para x¡ = 0 , 1 n para cada i, donde ^ x¡ = n y 2 ^ = *•
í=i
í=i
A sí. los n úm eros de resultados de las d iferen tes clases son variables aleato rias que
tien en la distribución m ultinom ial con los p a rá m etro s n. 0 t , d2,... y 0*. El nom bre
“ m ultinom ial" se deriva del hecho de q ue p ara los valores de x¡, las probabilidades
son iguales a los térm inos co rresp o n d ien tes de la expansión m ultinom ial de
+ 0 , + ••• + 9ky.
EJEM PLO 5.14
C ierta ciudad tiene tres estaciones de televisión. D urante el horario principal del sábado
en la noche, el canal 12 tiene 50 por ciento del público, el canal 10 tiene 30 p or ciento del
público y el canal 3 tiene 20 por ciento. E ncuentre la probabilidad de que entre ocho personas
que ven televisión en esa ciudad, escogidas al azar un sábado por la noche, cinco estarán
viendo el canal 12, dos estarán viendo el canal 10 y una estará viendo el canal 3.
Solución
Sustituim os .r, = 5, x 2 = 2, .rj = 1 ,0 , = 0 .5 0 ,0 , = 0.30. 03 = 0.20 y n = 8 en
la fórm ula de la definición 5.8, y obtenem os
/( 5 , 2, 1; 8 , 0.50, 0.30, 0.20) = - (0 .5 0 )5(0.30)2(0.20)
= 0.0945