Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 2 .7: Eventos independientes 59
Si dos eventos no son independientes, decim os que son d e p e n d ie n te s. A l o b ten er
la fórm ula de la definición 2.2. suponem os q ue P(B\A) existe y, p or tanto, que
P(A) ^ 0. Por conveniencia m atem ática, perm itirem os que la definición tam bién sea
válida cuando P(A) = 0 y/o P(B) — 0.
EJEM PLO 2.22
Se lanza una m oneda tres veces y se supone que los ocho resultados posibles, H H H ,
HHT, H T H , T H H , HTT, TH T, T T H y TTT, son igualm ente probables. Si A es el evento
de que una cara ocurra en cada uno de los dos prim eros lanzam ientos. B es el evento
que una cruz ocurra en el tercer lanzam iento y C es el even to q ue exactam ente dos cruces
ocurren en los tres lanzam ientos, dem uestre que
Solución
(a ) los eventos A y fí son independientes;
(b ) los eventos B y C son dependientes.
Puesto que
A = {H H H . HHT}
B = {H H T . H T T, T H T . TTT}
C = {H IT . T H T , TTH }
A C\ B = {H H T}
BC\C = {H TT, TH T}
el supuesto de que los ocho resultados posibles son todos equiprobables nos da
P (A ) = i , P(B) = }, P(C) = 1, P(A H B) = | y P(B D C ) = J.
(a ) P u e sto que P(A) • P(B) = i ' 2 = s = P(A ^ # ) • ,os eventos A y B son independientes.
(b ) P u e sto q u e P(B) • P{C) = í * | = j | ^ P(B D C ), los eventos A y B no son
independientes. ▲
En relación con la definición 2.2, se puede dem ostrar que si A y B son independientes.
entonces tam bién lo son A y B'. A' y B, y A' y B'. Por ejem plo.
t e o r e m a 2 .1 1 Si A y B son independientes, entonces A y B' tam bién son in d e­
pendientes.
D em ostración. Puesto que A = (A f~l B) U (A f l B'), com o se le pidió al
lector que dem ostrara en el inciso (a) del ejercicio 2.4, A O B y A IT B' son m u­
tuam ente excluyentes, y A y B son independientes por suposición, tenem os
P{A) = P[[A D B) U (A D B')]
= P{A ClB) + P(A HB')
= p ( a ) - p ( b ) + p ( a n B')