Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 15: Análisis de la varianza
C orrespondientem ente, la hipótesis alternativa es que las m edias de las poblaciones no
son todas iguales; esto es:
H x \ a, ¿ 0 p ara al m en o s un valo r d e i
La p ru eb a m ism a se basa en un análisis de la variabilidad total de los datos com binados
(n k — 1 m ultiplicado por su varianza), lo cual está d ado p or
2 2 (x « ~ * - ) 2 d o n d e 2 2 x <j
i=i y= i
i=l y=i
Si la hipótesis nula es verdadera, to d a esta variabilidad se debe al azar, p ero si no es
v erdadera, entonces p a rte de la sum a de los cuadrados anteriores se debe a las diferencias
en tre las m edias de las poblaciones. Para aislar, o separar, estas dos contribuciones
a la variabilidad total de los datos, nos referim os al siguiente teorem a.
T E O R E M A 15.1
2 2 (*# - - " • ¿ (x, - X..)2 + 2 ¿ (*• - x , f
i - 1 /=! i- l ¡«1 /- I
donde x r es la m edia de las observaciones d e la tésim a población y x .. es la m e­
dia de todas las n k observaciones.
Demostración
2 ¿ ( * , - í . . ) ! = i i [(= ,. - Jf..) + (*„ - i , . ) ] 2
i - 1 / - I 1 -1 /•-1
= 2 2 [(*<• “ J " )2 + 2 (*i- - *••)(*<, - X ,.)
1=1 y=i
+ (x# - I ,.) 2]
= 2 2 (* * ~ * " ) 2 + 2 2 2 ( x f - x ..) ( x ti - x ,.)
1=1 y=i 1=1 y=i
+ 2 2 (* f - x , ) 2
i=i y=i
= n . ¿ ( x , - í . . ) 2 + 2 2 (xtl - x , ) 2
1 = 1 1=1 / = !
n
puesto que 2 (x >/ ~ x ¡ ) = 0 para cada valor de i. ▼
y=i
Es costum bre referirse a la expresión en el lado izquierdo de la identidad del te o ­
rem a 15.1 com o la sum a de cuadrados total, al prim er térm ino de la expresión en el lad
o derecho com o la sum a d e cuadrados de los tratam ientos, y al segundo térm ino com o