Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .5 : Funciones generatrices de m om entos 149
Solución
D e acuerdo a la definición 4.6
= ^ ( 1 + 3e' + 3e^ + e3')
O
E ntonces, p o r el teorem a 4.9
= m ; ( 0 ) = g ( l +
1 = 0
3
2
Mi = A í;(0 ) = ^ ( 1 + e')e:' + | ( 1 + , - ) V = 3
»=o
A m enudo el trabajo que im plica el uso de funciones generatrices de m om entos
se puede sim plificar al asar el siguiente teorem a.
t e o r e m a 4 .1 0
Si a y b son constantes, entonces
1. A/,+„(f) = El,'-1'*'»] =
2 . Mtx(,) = £ ( / " ) = Mx(b,y.
3. M ^ ( 0 = E ^ ^ ' ] =
La dem ostración d e este teorem a se deja al lector en el ejercicio 4.46. C om o verem os
m ás adelante, la prim era parte del teorem a es de especial im portancia cuando a = —/i,
y la tercera parte es de especial im portancia cuando a = —fj. y b = <r, en cuyo caso
M x ^ t ) =
(f \
EJERCICIOS
4.25 C on resp ecto a la definición 4.4, dem uestre que fi0 = 1 y que /x, = 0 p ara
cualquier variable aleatoria para la que exista E(X) .
4 J 6 E ncuentre n, ¿tí y <r2 para la variable aleatoria X que tenga la distribución de
probabilidad f(x) = 5 para x = — 2 y x = 2.